Hessiana senza variabili
Dovrei trovare massimi e minimi relativi della funzione $f(x,y)=4x^2-3xy+9y^2+5x+15y+16$
Calcolo le derivate parziali prime:
$f'_x(x,y)=8x-3y+5$
$f'_y(x,y)=-3x+18y+15$
Il sistema si annulla solo nel punto (-1,-1)
Calcolo le derivate econde:
$f''_(xx)(x,y)=8$
$f''_(xy)(x,y)=-3$
$f''_(yx)(x,y)=-3$
$f''_(yy)(x,y)=18$
dunque l'Hessiana mi viene senza variabili.... che vuol dire? che non ha ne massimi ne minimi relativi o devo fare i normali calcoli???
grazie..
Calcolo le derivate parziali prime:
$f'_x(x,y)=8x-3y+5$
$f'_y(x,y)=-3x+18y+15$
Il sistema si annulla solo nel punto (-1,-1)
Calcolo le derivate econde:
$f''_(xx)(x,y)=8$
$f''_(xy)(x,y)=-3$
$f''_(yx)(x,y)=-3$
$f''_(yy)(x,y)=18$
dunque l'Hessiana mi viene senza variabili.... che vuol dire? che non ha ne massimi ne minimi relativi o devo fare i normali calcoli???
grazie..
Risposte
Vuol dire semplicemente che l'hessiana
è costante in tutto $RR^2$ e dunque sarà
tale anche nel punto $(-1,-1)$...
è costante in tutto $RR^2$ e dunque sarà
tale anche nel punto $(-1,-1)$...
Dunque? in (-1,-1) c'è un minimo?
Fai i normali calcoli e vedrai che $ ( -1,-1) $ è un punto di minimo .
Ecco... è questo che non capisco io....
H(x,y)= 8, -3, -3, 18 dunque è costante per ogni x e y quindi perchè è in (-1,-1) il minimo?
non dovrebbe essere un piano... o non lo so... questa funzione?
H(x,y)= 8, -3, -3, 18 dunque è costante per ogni x e y quindi perchè è in (-1,-1) il minimo?
non dovrebbe essere un piano... o non lo so... questa funzione?
L'Hessiano ha valore positivo ( ovunque in questo caso ) ma in $ ( -1,1 )$ le derivate parziali prime valgono 0 e quindi il piano tangente è orizzontale ed è un minimo ( H > 0 ) .
Tu devi sempre partire dalla soluzione del sistema delle derivate parziali prime poste uguali a 0.
I punti critici che trovi sono dei candidati ad essere max , min o punti di sella .
Il valore dell'hessiano ( o uno studio locale ) ti diranno la natura del punto.
Tu devi sempre partire dalla soluzione del sistema delle derivate parziali prime poste uguali a 0.
I punti critici che trovi sono dei candidati ad essere max , min o punti di sella .
Il valore dell'hessiano ( o uno studio locale ) ti diranno la natura del punto.
"Bartolomeo":
Ecco... è questo che non capisco io....
H(x,y)= 8, -3, -3, 18 dunque è costante per ogni x e y quindi perchè è in (-1,-1) il minimo?
non dovrebbe essere un piano... o non lo so... questa funzione?
per vedere se i punti critici P sono di massimo, minimo o punti sella devi guardare il determinante della matrice hessiana nel punto P ed il segno di $f''_(x x)(P)$
Nel tuo caso il determinante della matrice hessiana è costante e pari a $135>0$, ed anche $f''_(x x)()$ è costante e pari a $8>0$, quindi $(-1,-1)$ è di minimo.
si a me ha confuso il fatto che non potendo sotituire i punti (-1,-1) nella matrice, e dunque essendo questa costante per ogni x e y, ho pensato che anche la funzione fosse costante.... ma ora è chiaro... grazie...
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