Hessiana semidefinita
Buonasera a tutti, sono alle prese con i punti critici di questa funzione $f(x,y)=e^{-x^2-y^2}yx^2$
Calcolo le derivate parziali e le impongo uguali a 0
\begin{equation}
\begin{cases}
e^{-x^2-y^2}(-2x^3y+2xy)=0 \\e^{-x^2-y^2}(-2y^2x^2+x^2)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
(-2x^3y+2xy)=0 \\(-2y^2x^2+x^2)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
(-2x^3y+2xy)=0 \\x^2(-2y^2+1)=0
\end{cases}
\end{equation}
Adesso noto che tutti i punti $(0,y)$ soddisfano entrambe le equazioni, quindi sono punti critici (correggetemi se sbaglio). Andando avanti ne trovo altri 4 e li classifico mediante l'Hessiana, non ho problemi, ma questi come li studio?
Calcolo le derivate parziali e le impongo uguali a 0
\begin{equation}
\begin{cases}
e^{-x^2-y^2}(-2x^3y+2xy)=0 \\e^{-x^2-y^2}(-2y^2x^2+x^2)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
(-2x^3y+2xy)=0 \\(-2y^2x^2+x^2)=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
(-2x^3y+2xy)=0 \\x^2(-2y^2+1)=0
\end{cases}
\end{equation}
Adesso noto che tutti i punti $(0,y)$ soddisfano entrambe le equazioni, quindi sono punti critici (correggetemi se sbaglio). Andando avanti ne trovo altri 4 e li classifico mediante l'Hessiana, non ho problemi, ma questi come li studio?
Risposte
Ciao TeM, intanto grazie per la risposta esaustiva. Ho provato a mettere in pratica quello che mi hai detto e quello che ho letto nei link da te consigliati.
Intanto noto che $f(0,t)=0$, di conseguenza voglio vedere le "zone" in cui $f(x,y)\geq f(0,t)$(*) oppure $f(x,y)\leq f(0,t)$(**)
Inizio dalla (*), ottengo $e^{-x^2-y^2}yx^2\geq 0$. Sia l'esponenziale che l'$x^2$ non mi danno problemi, sono quantità sempre positive, per cui l'unica condizione da rispettare sarà $y\geq 0$
Per la (**), invece, la condizione da rispettare sarà $y\leq 0$
Andando a mettere sul grafico i conti fatti, ottengo questa figura
La parte verde indica la zona in cui $f(x,y)\geq f(0,t)$, mentre quella azzurra indica la zona in cui $f(x,y)\leq f(0,t)$. La retta rossa rappresenta appunto i punti critici non isolati della forma $(0,t)$. Dal grafico noto che il segno non è costante, devo dedurne che sono punti di sella? Anche se, pensandoci bene, i punti per $t\in(0,+\infty)$ potrebbero essere punti di minimo relativo, mentre i punti appartenenti a $t \in(- \infty, 0)$ sarebbero punti di massimo relativo.
Intanto noto che $f(0,t)=0$, di conseguenza voglio vedere le "zone" in cui $f(x,y)\geq f(0,t)$(*) oppure $f(x,y)\leq f(0,t)$(**)
Inizio dalla (*), ottengo $e^{-x^2-y^2}yx^2\geq 0$. Sia l'esponenziale che l'$x^2$ non mi danno problemi, sono quantità sempre positive, per cui l'unica condizione da rispettare sarà $y\geq 0$
Per la (**), invece, la condizione da rispettare sarà $y\leq 0$
Andando a mettere sul grafico i conti fatti, ottengo questa figura
La parte verde indica la zona in cui $f(x,y)\geq f(0,t)$, mentre quella azzurra indica la zona in cui $f(x,y)\leq f(0,t)$. La retta rossa rappresenta appunto i punti critici non isolati della forma $(0,t)$. Dal grafico noto che il segno non è costante, devo dedurne che sono punti di sella? Anche se, pensandoci bene, i punti per $t\in(0,+\infty)$ potrebbero essere punti di minimo relativo, mentre i punti appartenenti a $t \in(- \infty, 0)$ sarebbero punti di massimo relativo.
"TeM":
A valle di tutto ciò, manca un'ultima analisi. Per \(t = 0\) si ottiene l'origine \((0,\,0)\), che ...
Giusto, ho dimenticato di dire che nell'origine abbiamo un punto di sella, dato che valgono contemporaneamente la (*) e la (**). Piuttosto vorrei chiederti una cosa: in questo caso i conti erano un po' fastidiosetti...tu come hai calcolato la matrice? Solito metodo? Io calcolo $f_{x x}(x,y), f_{xy}(x,y), f_{yx}(x,y), f_{yy}(x,y)$ e sostituisco i valori dei punti critici isolati nell'Hessiana che ne deriva, per poi proseguire con lo studio che hai riportato anche tu. C'è un modo di semplificare le cose?
Le derivate erano molto lunghe! Comunque, se posso, riporto un altro esercizio con lo stesso problema in questo topic, così mi dici se l'ho svolto bene oppure no.
Rieccomi! L'altro esercizio è il seguente: $f(x,y)=arctan(x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3)$
Essendo l'arcotangente una funzione strettamente crescente, valuto il suo argomento, dato che i punti critici di $x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3$ lo saranno anche per l'arctan. Dopo aver calcolato $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$, imposto il seguente sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3=0\\2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2y^2(3-4x-3y)=0\\x^3y(2-2x-3y)=0
\end{cases}
\end{equation}
Vedo subito che tutti i punti $(t,0)$ e $(0,t)$ sono punti critici non isolati.
Mentre per questo sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
3-4x-3y=0\\2-2x-3y=0
\end{cases}
\end{equation}
l'unico punto critico isolato è $(1/2,1/3)$. Tramite il determinante dell'Hessiana e il segno di $f_{x x}(x,y)$ trovo che si tratta di un massimo relativo.
Per i punti critici non isolati ho seguito il metodo di prima ($f(t,0)$ e $f(0,t)$ sono nulle):
$f(x,y)\geq 0$(*)
$f(x,y)\leq 0$(**)
Nella (*) ho $x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3\geq 0 \rightarrow x^3y^2(1-x-y)\geq 0$.
Il termine $y^2$ non influisce, mentre la disequazione sarà verificata se $x^3$ e $1-x-y$ hanno segno concorde. Nella (**), invece, devono essere discordi in segno. Riassumo in questo grafico il tutto:
In verde ho verificata la (*), in azzurro la (**).
Noto che tutti i punti critici $(0,t)$ sono punti di sella.
Per quanto riguarda i punti $(t,0)$ avrò che:
per $t \in (-\infty,0) U (1, +\infty)$ ho dei massimi relativi;
per $t \in (0,-1)$ ho dei minimi relativi;
per $t=0, t=-1$ ho dei punti di sella.
Mi confermi che ho capito bene oppure distruggerai le mie certezze??
Essendo l'arcotangente una funzione strettamente crescente, valuto il suo argomento, dato che i punti critici di $x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3$ lo saranno anche per l'arctan. Dopo aver calcolato $f_x(x,y)$ e $f_y(x,y)$, imposto il seguente sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
3x^2y^2-4x^3y^2-3x^2y^3=0\\2x^3y-2x^4y-3x^3y^2=0
\end{cases}
\end{equation}
\begin{equation}
\begin{cases}
x^2y^2(3-4x-3y)=0\\x^3y(2-2x-3y)=0
\end{cases}
\end{equation}
Vedo subito che tutti i punti $(t,0)$ e $(0,t)$ sono punti critici non isolati.
Mentre per questo sistema
\begin{equation}
\begin{cases}
3-4x-3y=0\\2-2x-3y=0
\end{cases}
\end{equation}
l'unico punto critico isolato è $(1/2,1/3)$. Tramite il determinante dell'Hessiana e il segno di $f_{x x}(x,y)$ trovo che si tratta di un massimo relativo.
Per i punti critici non isolati ho seguito il metodo di prima ($f(t,0)$ e $f(0,t)$ sono nulle):
$f(x,y)\geq 0$(*)
$f(x,y)\leq 0$(**)
Nella (*) ho $x^3y^2-x^4y^2-x^3y^3\geq 0 \rightarrow x^3y^2(1-x-y)\geq 0$.
Il termine $y^2$ non influisce, mentre la disequazione sarà verificata se $x^3$ e $1-x-y$ hanno segno concorde. Nella (**), invece, devono essere discordi in segno. Riassumo in questo grafico il tutto:
In verde ho verificata la (*), in azzurro la (**).
Noto che tutti i punti critici $(0,t)$ sono punti di sella.
Per quanto riguarda i punti $(t,0)$ avrò che:
per $t \in (-\infty,0) U (1, +\infty)$ ho dei massimi relativi;
per $t \in (0,-1)$ ho dei minimi relativi;
per $t=0, t=-1$ ho dei punti di sella.
Mi confermi che ho capito bene oppure distruggerai le mie certezze??
"TeM":
Sì, snobbare lo studio dell'hessiana! Infatti, oltre ai casi in cui si è obbligati a percorrere altre strade,
ossia quando l'hessiana risulta semidefinita, tali strade teoricamente sono sempre applicabili e quindi
potrebbero risultare più convenienti anche quando l'hessiana non risulta semidefinita per via dei conti
complicati che si dovrebbero svolgere per calcolarla.
Grazie ancora per la pazienza
Volevo rivolgerti l'ultima domanda, come snobbi lo studio dell'hessiana? Per il primo esercizio come hai calcolato i punti critici isolati ad esempio?
Perfetto, tutto chiaro! 
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