Hessiana e gradiente
Salve a tutti.
Devo rispondere alla seguente domanda, indicando una tra le risposte che andrò successivamente a commentare.
Sia $p(x_0,y_0)$ un punto di massimo.
Sia $f:R^2 \rightarrow R. $
Sia $U \subset R^2$ un insieme aperto.
f è una funzione a valori reali definita su U.
Allora:
(possibili risposte)
-L'Hessiana nel punto $p(x_0,y_0)$ è definita negativa
-Se il differenziale di f si annulla in p, allora l'Hessiana in p è definita positiva.
-in p il gradiente della funzione si annulla.
-se il gradiente della funzione nel punto p non si annulla, allora non è definito in p.
PRIMA RISPOSTA:
Il teorema recita che preso un punto critico $s(x_0,y_0)$, allora se la matrice Hessiana è:
-definita positiva ----> s è un punto di minimo;
-definita negativa -----> s è un punto di massimo;
-indefinita ----> s è un punto di sella.
Il problema è che non ho alcuna indicazione relativamente al fatto che p sia un punto critico, quindi non potrei applicare il teorema nella mia situazione.
SECONDA RISPOSTA:
Dato che il differenziale si annulla, allora il gradiente è un vettore nullo e quindi il punto p è un punto critico. Posso applicare il teorema prima definito, ma esso non rispetta le condizioni in quanto la matrice Hessiana deve essere definita negativa e non positiva come nella risposta due.
TERZA RISPOSTA:
Non è detto che per un punto di massimo il gradiente si annulli. Potrebbe infatti non esistere, come nel caso di un punto singolare.
QUARTA RISPOSTA:
Non ha senso, per quanto mi riguarda.
Se il gradiente è un vettore non nullo, perchè non dovrebbe essere definito?
Qualcuno è in grado di smentire i miei commenti che mi portano ad escludere tutte le risposte?
Grazie e buona giornata.
Devo rispondere alla seguente domanda, indicando una tra le risposte che andrò successivamente a commentare.
Sia $p(x_0,y_0)$ un punto di massimo.
Sia $f:R^2 \rightarrow R. $
Sia $U \subset R^2$ un insieme aperto.
f è una funzione a valori reali definita su U.
Allora:
(possibili risposte)
-L'Hessiana nel punto $p(x_0,y_0)$ è definita negativa
-Se il differenziale di f si annulla in p, allora l'Hessiana in p è definita positiva.
-in p il gradiente della funzione si annulla.
-se il gradiente della funzione nel punto p non si annulla, allora non è definito in p.
PRIMA RISPOSTA:
Il teorema recita che preso un punto critico $s(x_0,y_0)$, allora se la matrice Hessiana è:
-definita positiva ----> s è un punto di minimo;
-definita negativa -----> s è un punto di massimo;
-indefinita ----> s è un punto di sella.
Il problema è che non ho alcuna indicazione relativamente al fatto che p sia un punto critico, quindi non potrei applicare il teorema nella mia situazione.
SECONDA RISPOSTA:
Dato che il differenziale si annulla, allora il gradiente è un vettore nullo e quindi il punto p è un punto critico. Posso applicare il teorema prima definito, ma esso non rispetta le condizioni in quanto la matrice Hessiana deve essere definita negativa e non positiva come nella risposta due.
TERZA RISPOSTA:
Non è detto che per un punto di massimo il gradiente si annulli. Potrebbe infatti non esistere, come nel caso di un punto singolare.
QUARTA RISPOSTA:
Non ha senso, per quanto mi riguarda.
Se il gradiente è un vettore non nullo, perchè non dovrebbe essere definito?
Qualcuno è in grado di smentire i miei commenti che mi portano ad escludere tutte le risposte?
Grazie e buona giornata.
Risposte
Secondo me la quarta risposta potrebbe avere un senso con una certa interpretazione.
Un teorema (th di Fermat esteso a piu' dimensioni) recita:
"sia $ Asube mathbb(R) $ aperto e sia $ f:Ararrmathbb(R) $ differenziabile in $ ul(a)inA $ . Se $ ul(a) $ e' un estremante di f allora $ (partialf(ul(a)))/(partialx_j)=0" "AA j=1..n $ .
Nella dimostrazione si usa la differenziabilita' di f per avere le derivate in tutte le direzioni, quindi puo' bastare che il gradiente sia definito.
Dunque se un punto e' di massimo ed esistono le derivate parziali nel punto allora il gradiente si deve annullare.
D'altra parte se la funzione non e' derivabile nel punto il gradiente puo' non esistere pur essendo il punto un massimo:
$ f(x,y)= -sqrt(x^2+y^2) $
x=0 massimo; d'altra parte non esistono le derivate parziali in quel punto.
In altri termini: se il gradiente esiste deve essere nullo, altrimenti l'altra possibilita' e' che non esista...anche se ho difficolta' a capire come faccia un oggetto non nullo a non esistere...sembra un cruccio filosofico...forse pero' si ragiona cosi': sapendo a priori che il gradiente non puo' essere diverso da zero, allora non puo' esistere.
Un teorema (th di Fermat esteso a piu' dimensioni) recita:
"sia $ Asube mathbb(R) $ aperto e sia $ f:Ararrmathbb(R) $ differenziabile in $ ul(a)inA $ . Se $ ul(a) $ e' un estremante di f allora $ (partialf(ul(a)))/(partialx_j)=0" "AA j=1..n $ .
Nella dimostrazione si usa la differenziabilita' di f per avere le derivate in tutte le direzioni, quindi puo' bastare che il gradiente sia definito.
Dunque se un punto e' di massimo ed esistono le derivate parziali nel punto allora il gradiente si deve annullare.
D'altra parte se la funzione non e' derivabile nel punto il gradiente puo' non esistere pur essendo il punto un massimo:
$ f(x,y)= -sqrt(x^2+y^2) $
x=0 massimo; d'altra parte non esistono le derivate parziali in quel punto.
In altri termini: se il gradiente esiste deve essere nullo, altrimenti l'altra possibilita' e' che non esista...anche se ho difficolta' a capire come faccia un oggetto non nullo a non esistere...sembra un cruccio filosofico...forse pero' si ragiona cosi': sapendo a priori che il gradiente non puo' essere diverso da zero, allora non puo' esistere.
Ciao ostrogoto, grazie della risposta. Ci ho pensato un po' su, e probabilmente non avevo capito il senso di questa risposta(anche perchè in parte non è chiara):
Ho pensato, che magari i sapientoni che hanno assegnato la domanda, non hanno fatto comprendere bene che, ciò che non è definito in p, è il punto di massimo.
Quindi in altre parole la risposta dice: "se il gradiente della funzione non si annulla (e se non si annulla, presumo significhi che esista) allora il punto p non è un punto di massimo."
Cosa ne pensi?
Nelle altre tre risposte, manca qualcosa, non penso siano corrette al 100%.
Grazie e buona giornata.
"paolodocet":
se il gradiente della funzione nel punto p non si annulla, allora non è definito in p.
Ho pensato, che magari i sapientoni che hanno assegnato la domanda, non hanno fatto comprendere bene che, ciò che non è definito in p, è il punto di massimo.
Quindi in altre parole la risposta dice: "se il gradiente della funzione non si annulla (e se non si annulla, presumo significhi che esista) allora il punto p non è un punto di massimo."
Cosa ne pensi?
Nelle altre tre risposte, manca qualcosa, non penso siano corrette al 100%.
Grazie e buona giornata.
Sono perplesso: la frase e' ambigua in italiano in quanto manca il soggetto riferito al secondo verbo e cio' rende oscuro il senso. Di solito non si dice che "un massimo non e' definito in p" piuttosto "p non e' un massimo" quindi sarei propenso a pensare che sia il gradiente non definito in p, id est propendo per la l'interpretazione del mio precedente messaggio. Poi l'unica maniera di dirimere la vexata questio sarebbe quella di interpellare chi ha scritto la domanda.
Secondo il mio modesto parere pero' una domanda di matematica non dovrebbe implicare l'ermeneutica del testo (da Hermes interprete degli oracoli divini, l'ermeneutica e' l'arte di svelare il significato originario di un testo e di renderlo attuale).
Secondo il mio modesto parere pero' una domanda di matematica non dovrebbe implicare l'ermeneutica del testo (da Hermes interprete degli oracoli divini, l'ermeneutica e' l'arte di svelare il significato originario di un testo e di renderlo attuale).
Ho letto meglio la tua precedente risposta ed effettivamente potresti avere ragione. Ossia l'ultima risposta, dice:
Se il gradiente non si annulla - vale a dire che le derivate parziali non sono entrambe nulle e quindi il punto non può essere stazionario - allora sto gradiente deve necessariamente non esistere (e quindi non è definito - cioè le derivate parziali in quel punto non esistono) affinché si abbia un punto singolare che poi potrebbe essere un punto di massimo.
Sì, in effetti così ha senso. Ci sarei arrivato, ma solo per esclusione. Ti ringrazio per i tuoi ragionamenti. Probabilmente era corretto quello che dicevi.
Ciao, buona giornata.
Se il gradiente non si annulla - vale a dire che le derivate parziali non sono entrambe nulle e quindi il punto non può essere stazionario - allora sto gradiente deve necessariamente non esistere (e quindi non è definito - cioè le derivate parziali in quel punto non esistono) affinché si abbia un punto singolare che poi potrebbe essere un punto di massimo.
Sì, in effetti così ha senso. Ci sarei arrivato, ma solo per esclusione. Ti ringrazio per i tuoi ragionamenti. Probabilmente era corretto quello che dicevi.
Ciao, buona giornata.
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