[help]immagine di funzioni

[ross.dream]

Salve, ho due funzioni delle quali determinare l'immagine. Il problema è che non riesco a capacitarmi dei risultati ottenuti (...sicuramente sbaglio qualcosa).
Ecco qui.

$y=cos x^2$ Bene...per determinare l'immagine, determino prima di tutto l'inversa della funzione. Quindi i passaggi dovrebbero essere questi: $ x^2=arccosy => x= sqrt(arccosy)$ e quindi l'immagine dovrebbe essere [0,1] (?)...
Il libro mi dà invece, come risultato, im(f)=[-1,1], che davvero non ho capito da dove salti fuori...

Invece, con $y=cos^2(x^2)$ accade il contrario, e l'im(f) mi risulta [-1,1], mentre il libro mi dà [0,1]!
Potreste aiutarmi a capire dove (sicuramente) sbaglio? Grazie mille!!

[Lord K]

Osserva questo:

$y=cos(x^2)$

ovvero posso scrivere il tutto come:

$y=f(g(x))$

Dove:

$f:RR rightarrow [-1,1]$
$f(t)=cost$

e dove:

$g:RR rightarrow RR$
$g(x)=x^2$

Per le proprietà delle funzioni composte, l'immagine della composta è l'immagine della funzione più esterna (con dominio l'immagine della funzione più interna), in questo caso $f$ e quindi l'immagine è necessariamente $[-1,1]$. L'errore perpetrato sta nel fatto che non puoi estrarre la radice così semplicemente. La radice di un quadrato è:

$x^2=arccosy Rightarrow x=+-sqrt(arccosy)$

Nel caso successivo poi abbiamo che:

$y=f(g(x))$

Dove $f(t)=t^2$ e dove $g(x)=cos(x^2)$ ovvero quanto visto prima. Quindi tutto sta a valutare l'immagine di $f$ con dominio $[-1,1]$ ovvero naturalmente $[0,1]$

Spero sia abbastanza chiara la mia spiegazione.

[ross.dream]

Chiarissima! Ci avevo pensato ieri sera...e ora mi hai dato la conferma, togliendomi qualsiasi dubbio! Grazie!!
Ah, visto che mi trovo, per verificare se ho compreso la cosa, posto questo esempio...

Determinare l'immagine della funzione $cos^2(logx)$.Per quanto detto prima (quindi la proprietà delle funzioni composte), l'immagine di questa composizione è l'immagine della funzione più esterna, quindi [0,1]. E' corretto?:)

Edit: scusami, ma non dovrebbe essere $x^2: R->R+$?