Help uguaglianza integrale
Salve a tutti! oggi per la mia tesi mi sono imbattuto in questa uguaglianza su di un articolo scientifico che sto studiando ma non riesco a venirne a capo totalmente, ora vi espongo il problema: il testo dice che l'integrale che segue
$ V=-int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw $ (1)
è uguale a
$ V=-int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw + 1/[zeta*(1+zeta^2)^(1/2)*(k^2+zeta^2)^(1/2)]$ (2)
al 99% usa l'integrazione per parti e sono riuscito ad ottenere il secondo membro della (2) ma non riesco ad ottenere il primo , qualcunno ha idee? sto uscendo matto
$ V=-int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw $ (1)
è uguale a
$ V=-int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw + 1/[zeta*(1+zeta^2)^(1/2)*(k^2+zeta^2)^(1/2)]$ (2)
al 99% usa l'integrazione per parti e sono riuscito ad ottenere il secondo membro della (2) ma non riesco ad ottenere il primo , qualcunno ha idee? sto uscendo matto
Risposte
Anche se non sono affatto pratico dell'argomento su cui stai facendo la tesi: il secondo membro della (1) è uguale al primo termine del secondo membro della (2), quindi ciò vorrebbe dire che il secondo termine della 2 è nullo. E mi pare molto strano..
la mia tesi riguarda il contatto hertziano, riguardo a quanto dici penso sia un artificio matematico per risolvere calcoli in seguito visto che quest'integrale è solo un passaggio intermedio
Mi cambia poco sapere di cosa parla, sono ancora al primo anno!
Però mi pare strano in ogni caso, controlla che ci sia scritto esattamente così, perchè se così è allora il secondo termine della (2) è uguale a 0!
Tra parentesi, non può essere stata usata nessuna integrazione per parti.
Però mi pare strano in ogni caso, controlla che ci sia scritto esattamente così, perchè se così è allora il secondo termine della (2) è uguale a 0!
Tra parentesi, non può essere stata usata nessuna integrazione per parti.
molto probabilmente non mi sono spiegato bene allora cercherò di essere più chiaro:
Il testo parte da una funzione (che non scrivo) che poi deriva ottenedo quanto segue
$ (del V)/(delz)= - (3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi)*sqrt(b^2+psi)*psi^(3/2)) $ [1]
successivamente il testo esegue di nuovo la derivata in $z$ della[1] ed effettua dei cambi di variabile che sono i seguenti
$ psi=a^2*w^2 $
$ k=b/a $
$ zeta=z/a $
ottenedo direttamente, senza mostrare passaggi intermedi, la formula che segue
$ (del^2 V)/(delz^2)=-(3P)/a^3int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw +(3P)/a^3 *1/[zeta*(1+zeta^2)^(1/2)*(k^2+zeta^2)^(1/2)]$ [2]
io risultato che ottengo io è invece
$ (del^2 V)/(delz^2)=-(3P)/a^3int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw $
ma non la seconda che non riesco proprio a capire da dove viene fuori
Il testo parte da una funzione (che non scrivo) che poi deriva ottenedo quanto segue
$ (del V)/(delz)= - (3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi)*sqrt(b^2+psi)*psi^(3/2)) $ [1]
successivamente il testo esegue di nuovo la derivata in $z$ della[1] ed effettua dei cambi di variabile che sono i seguenti
$ psi=a^2*w^2 $
$ k=b/a $
$ zeta=z/a $
ottenedo direttamente, senza mostrare passaggi intermedi, la formula che segue
$ (del^2 V)/(delz^2)=-(3P)/a^3int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw +(3P)/a^3 *1/[zeta*(1+zeta^2)^(1/2)*(k^2+zeta^2)^(1/2)]$ [2]
io risultato che ottengo io è invece
$ (del^2 V)/(delz^2)=-(3P)/a^3int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw $
ma non la seconda che non riesco proprio a capire da dove viene fuori
Dovrebbe essere la derivata di un prodotto.
come faccio derivando la [1] ad ottenere un prodotto? e poi dove andrebbe a finire l'integrale del secondo membro della [2] ? a me sembra una sorta di applicazione dell'integrazione per parti...
La seguente espressione deve essere derivata come prodotto di $2$ funzioni di $z$:
$-(3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi^2)*sqrt(b^2+psi^2)*psi^(3/2))$
in quanto anche l'integrale, tramite l'estremo inferiore d'integrazione, ne dipende.
$-(3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi^2)*sqrt(b^2+psi^2)*psi^(3/2))$
in quanto anche l'integrale, tramite l'estremo inferiore d'integrazione, ne dipende.
cioè? ho capito la dipendenza ma potresti per favore farmi un esempio pratico... scusa l'ignoranza 
$d/dxint_(x_0)^(\phi(x))f(t)dt=f(\phi(x))\phi'(x)$
La strada è sicuramente questa. In ogni modo, ho provato a ricavare il 2° termine, ma qualcosa non torna. Sei sicuro di quelle sostituzioni?
La strada è sicuramente questa. In ogni modo, ho provato a ricavare il 2° termine, ma qualcosa non torna. Sei sicuro di quelle sostituzioni?
si delle sostituzioni sono sicuro, cosa è che non torna?
Il 2° termine dovrebbe essere questo:
$(3Pz)/2*1/(sqrt(a^2+z^4)*sqrt(b^2+z^4)*z^3)*2z$
Ma, con quelle sostituzioni, non riesco a metterlo come vorresti. Devo dire che non ho insistito molto.
$(3Pz)/2*1/(sqrt(a^2+z^4)*sqrt(b^2+z^4)*z^3)*2z$
Ma, con quelle sostituzioni, non riesco a metterlo come vorresti. Devo dire che non ho insistito molto.
io ho provato a fare così ovvero
$(3Pz)/a^3*del/(delz)(int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw)$
tramite la sostituzione $w*a=z$ ottengo
$(3Pz)/a^3*1/a*del/(delw)(int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw)$
derivata ed integrale si annullano... spero di non aver detto una mostruosità e ottengo
$(3Pz)/a^3*1/a* [1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)]]$
sostituendo poi gli estremi di integrazione otterrei il secondo membro di cui stavamo parlando, che ne dici?
$(3Pz)/a^3*del/(delz)(int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw)$
tramite la sostituzione $w*a=z$ ottengo
$(3Pz)/a^3*1/a*del/(delw)(int_(zeta)^(oo) 1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)] dw)$
derivata ed integrale si annullano... spero di non aver detto una mostruosità e ottengo
$(3Pz)/a^3*1/a* [1/[w^2*(1+w^2)^(1/2)*(k^2+w^2)^(1/2)]]$
sostituendo poi gli estremi di integrazione otterrei il secondo membro di cui stavamo parlando, che ne dici?
Dovrei pensarci. In ogni modo, non ho capito se quelle sostituzioni vengono fatte prima o dopo la derivazione. Anche se il risultato non dovrebbe cambiare, potrebbe essere vantaggioso farle prima.
il testo non penso a caso le fa prima di effettuare la derivata seconda... sul passaggio che ho fatto tra derivata e integrale ovvero di "semplificarli " invece che ne pensi? non penso che sia così banale come cosa... p.s. il segno positivo mi verrebbe poi sostituendo gli estremi di integrazione...pensi sia giusto?
Onestamente, cercherò di concentrarmi sul motivo per il quale non si riesce nel modo che ti avevo indicato. Anche se davo per scontato di dover fare le sostituzioni in un secondo momento. Appena posso ti aggiorno.
ok, cercherò anche io di fare lo stesso e spero di venirne a capo, ti ringrazio infinitamente in anticipo, a dopo
ho trovato un errore di battitura nella formula da derivare :O
$ (del V)/(delz)= - (3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi)*sqrt(b^2+psi)*psi^(3/2)) $ [1]
$ (del V)/(delz)= - (3Pz)/2int_(z^2)^(oo) (dpsi)/(sqrt(a^2+psi)*sqrt(b^2+psi)*psi^(3/2)) $ [1]
Infatti, non poteva fallire il procedimento che ti avevo indicato, a mio parere il più "pulito". Tra l'altro, proprio quel termine $\psi^2$ sotto le radici mi lasciava molto perplesso. Ora, in base alla seguente proprietà:
$d/dxint_(\phi(x))^(+oo)f(t)dt=-f(\phi(x))\phi'(x)$
il 2° termine dovrebbe essere questo:
$(3Pz)/2*1/(sqrt(a^2+z^2)*sqrt(b^2+z^2)*z^3)*2z$
Se operi le dovute sostituzioni, ottieni banalmente il risultato da te indicato.
$d/dxint_(\phi(x))^(+oo)f(t)dt=-f(\phi(x))\phi'(x)$
il 2° termine dovrebbe essere questo:
$(3Pz)/2*1/(sqrt(a^2+z^2)*sqrt(b^2+z^2)*z^3)*2z$
Se operi le dovute sostituzioni, ottieni banalmente il risultato da te indicato.
grazie mille davvero! mi devi scusare per l'ignoranza ma devo ammettere di aver ignorato tale proprietà ora il risultato torna perfettamente, solo un'ultima cosa, tale proprietà ha un nome particolare perchè la voglio approfondire assieme ad eventuali altre proprietà, grazie di nuovo 
Non credo abbia un nome. In ogni modo, si tratta di applicare la regola di derivazione di funzione composta:
$d/dxint_(\phi(x))^(+oo)f(t)dt=d/dx[F(t)]_(\phi(x))^(+oo)=-d/dxF(\phi(x))=-F'(\phi(x))\phi'(x)=-f(\phi(x))\phi'(x)$
$d/dxint_(\phi(x))^(+oo)f(t)dt=d/dx[F(t)]_(\phi(x))^(+oo)=-d/dxF(\phi(x))=-F'(\phi(x))\phi'(x)=-f(\phi(x))\phi'(x)$
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