Help Teorema di Gauss verifica su cono sono viene...

[Legolas84]

Ciao, stiamo parlando del famoso Teorema della Divergenza di Gauss e tra non molto avrò l'esame di analisi 3... se non capisco dove sbaglio sono perduto....

L'esercizio di per se è così: Verificare il teorema di Gauss sul cono con vertice nell'origine visto dall'alto di equazione:

$ x^2 + y^2 = z^2 $ con $ 0<=z<=6 $

Relativo al campo vettoriale: F $(-3x, 5y , 4z^2)$.

Ora premetto che assolutamente non mi viene e ci sto sbattendo la testa da due giorni senza capire dove sbaglio. Partiamo comunque dai dati assodati:

- Per prima cosa parametrizzo il cono e prendo Jacobiano cilindrico e la Divergenza:

Parametrizzazione del cono: $ x = rho cos phi $ || $ y = rho sin phi $ || $ z = z $ con $ 0 <= rho <= 6 $ || $ 0 <= phi <= 2pi $ || $ 0 <= z <= rho $

Lo Jacobiano cilindrico vale: $ rho * \ \text{d}rho\ \text{d}phi \ \text{d}z$
Mentre la Divergenza applicando le note regole: $ (-3+5+8z) = 2 + 8z $

A questo punto passo a calcolare il flusso con l'integrale triplo applicando Gauss:

$ int_0^6 int_0^(2pi) int_0^rho [(2 + 8z) * rho] \ \text{d}rho\ \text{d}phi \ \text{d}z$ non metto tutti i passaggi ma comunque il risultato è: $2880pi$

Ora iniziano i passaggi dolenti, divido la superficie del cono in due parti, quella laterale $gamma1$ e il "cappello" $gamma2$

Partendo dalla laterale $gamma1$ la normale dovrebbe valere: $(-rho cos phi, -rho sin phi, rho)$, mentre convertendo in coordinate cilindriche anche il campo vettoriale ottengo: $(-3 rho cos phi, 5 rho sin phi, 4 rho^2)$ a questo punto faccio prodotto componente su componente e creo il mio primo integrale doppio:

$ int_0^6 int_0^(2pi) 3rho^2 cos^2 phi - 5 rho^2 sin^2 phi + 4 rho^2 \ \text{d}rho\ \text{d}phi$ anche qui metto direttamente il risultato: $16pi(4pi^2 - 9)$

Ora passo al tetto del cono rovesciato ovvero $gamma2$ la cui normale vale: $(0,0,rho)$ e applicandola componente su componente al solito campo vettoriale $(-3 rho cos phi, 5 rho sin phi, 4 rho^2)$ mi restituisce il seguente integrale doppio:

$ int_0^6 int_0^(2pi) 4rho^3 \ \text{d}rho\ \text{d}phi$ anche qui metto direttamente il risultato: $2592pi$

Adesso siamo alla fine.... se sommo i due risultati $[16pi(4pi^2 - 9)] + 2592pi$ non ottengo $2880pi$, e nemmeno se li sottraggo.... quindi diciamo che Gauss non è verificato. Sicuramente sbaglio.... ma dove?

Davvero un enorme grazie a chi vorrà spendere un pò di tempo ad aiutarmi...

[Studente Anonimo]

Nel calcolare il flusso attraverso la superficie laterale, al netto del segno, hai commesso una prima svista nell'ultimo termine:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=\rho):} rarr $

$rarr vecn=-|(veci,vecj,veck),(cos\phi,sin\phi,1),(-\rhosin\phi,
\rhocos\phi,0)|=\rhocos\phiveci+\rhosin\phivecj-\rhoveck rarr$

$rarr \Phi_(SL)=\int_{0}^{6}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi(-3\rho^2cos^2\phi+5\rho^2sin^2\phi-4rho^3)=$

$=\int_{0}^{6}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi(-8\rho^2cos^2\phi+5\rho^2-4rho^3)=$

$=10\pi\int_{0}^{6}d\rho\rho^2-8\pi\int_{0}^{6}d\rhorho^3-8\int_{0}^{6}d\rhorho^2\int_{0}^{2\pi}d\phicos^2\phi=$

$=720\pi-2592\pi-576\pi=$

$=-2448\pi$

Inoltre, calcolando il flusso attraverso la superficie di base in modo elementare:

$\Phi_B=5184\pi$

Altrimenti, sviluppando i calcoli come sopra, hai commesso una seconda svista:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=6):} rarr $

$rarr vecn=|(veci,vecj,veck),(cos\phi,sin\phi,0),(-\rhosin\phi,
\rhocos\phi,0)|=\rhoveck rarr$

$rarr \Phi_B=\int_{0}^{6}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi144\rho=5184\pi$

In definitiva:

$\Phi=\Phi_(SL)+\Phi_B=-2448\pi+5184\pi=2736\pi$

Tra l'altro, devi aver commesso una terza svista nel calcolo dell'integrale di volume:

$\int_{0}^{6}dz\int_{0}^{z}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi(2+8z)\rho=4\pi\int_{0}^{6}dz\int_{0}^{z}d\rho(1+4z)\rho=2\pi\int_{0}^{6}dz(1+4z)z^2=2736\pi$

[Legolas84]

Ciao, innanzitutto un enorme GRAZIE per l'aiuto che mi stai dando.
Riguardo l'esercizio:

Prima Svista:

La svista sull'ultimo termine l'ho capita ed è proprio una svista Invece il problema per me più grosso in questo caso è il segno della normale, a giudicare da quello che vedo la tua normale ha segno completamente invertito, quindi suppongo che io ho erroneamente calcolato la normale interna. Quello che vorrei chiederti è... esiste un metodo per essere sicuri che quello che si sta calcolando è la normale esterna e non l'interna?

Seconda Svista:

Questa in realtà non è una svista ma proprio un errore di concezione mio. Infatti mi sembra di aver capito che tu inserisci il valore puro del raggio ovvero 6 nella conversione in coordinate sferiche del campo vettoriale. Di fatti li $4rho^2$ diventa $144$ sostituendo a $rho$ il valore $6$. Poi lo metti nell'integrale moltiplicandolo per il $rho$ della normale e ottieni quel risultato. Quello che non capisco è perchè va sostituito il valore $6$ a $rho$ nel campo vettoriale?

Terza Svista:

Anche qui non è una svista ma un errore concettuale. Infatti se noti il mio integrale ha degli spazi di integrazione diversi. Negli esercizi fatti con il professore $rho$ andava da $0$ a $6$, $phi$ da $0$ a $2pi$ e $z$ da $0$ a $rho$.
Nella tua risoluzione invece vediamo: $rho$ da $0$ a $z$, $phi$ da $0$ a $2pi$ e $z$ da $0$ a $6$.
Come mai? In base a cosa si usa uno o l'altro spazio?

Un grazie immenso!

[Studente Anonimo]

"Legolas84":
... esiste un metodo per essere sicuri che quello che si sta calcolando è la normale esterna e non l'interna ...

Ti consiglio di aiutarti graficamente. Se hai presente la superficie conica in esame, la normale esterna ha, in ogni punto, la terza componente negativa. Quindi, non:

$vecn=|(veci,vecj,veck),(cos\phi,sin\phi,1),(-\rhosin\phi,
\rhocos\phi,0)|=-\rhocos\phiveci-\rhosin\phivecj+\rhoveck$

in cui è presente $\rhoveck$, ma:

$vecn=-|(veci,vecj,veck),(cos\phi,sin\phi,1),(-\rhosin\phi,
\rhocos\phi,0)|=\rhocos\phiveci+\rhosin\phivecj-\rhoveck$

in cui è presente $-\rhoveck$.

"Legolas84":
... quello che non capisco è perché va sostituito il valore $6$ a $rho$ nel campo vettoriale ...

Veramente, trattandosi della procedura usuale, ho sostituito $6$ a $z$. Il campo vettoriale:

$vecF=-3xveci+5yvecj+4z^2veck$

deve essere valutato nei punti che appartengono alla superficie di base piana del cono:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=6):}$

da non confondersi con la sua superficie laterale:

$\{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=\rho):}$

Quindi:

$vecF=-3\rhocos\phiveci+5\rhosin\phivecj+144veck$

"Legolas84":
... in base a cosa si usa uno o l'altro spazio ...

Poiché il risultato non cambia, in base alla convenienza:

Modo 1

$\int_{0}^{6}dz\int_{0}^{z}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi(2+8z)\rho=4\pi\int_{0}^{6}dz\int_{0}^{z}d\rho(1+4z)\rho=2\pi\int_{0}^{6}dz(1+4z)z^2=2736\pi$

Modo 2

$\int_{0}^{6}d\rho\int_{\rho}^{6}dz\int_{0}^{2\pi}d\phi(2+8z)\rho=4\pi\int_{0}^{6}d\rho\int_{\rho}^{6}dz(1+4z)\rho=4\pi\int_{0}^{6}d\rho(78-\rho-2\rho^2)\rho=2736\pi$

In effetti, solo adesso mi accorgo che avevi sbagliato gli estremi di integrazione in $z$ (modo 2). A questo punto, se non è una svista, credo sia l'unico errore piuttosto grave che hai commesso. Se non è tutto chiaro fammi sapere.

[Legolas84]

I primi due punti devo dire di averli pienamente compresi finalmente, quello che mi preme infatti è capire proprio il ragionamento che sta alla base per poterlo riprodurre anche su altre figure

L'ultimo punto invece mi è meno chiaro. Il professore ha usato questi parametri:

$\{(0<=rho<=6),(0<=phi<=2pi),(0<=z<=rho):}$

e questo portava a costruire integrali con questi estremi:

$int_0^6 \ \text{d}rho int_0^(2pi) \ \text{d}phi int_0^rho \ \text{d}z$

È veramente l'ultima cosa che non mi è chiara.... il professore si è sbagliato? Su cosa poggia il tuo ragionamento con cui individui estremi di integrazione differenti?

Grazieeeeeeeeee

[Studente Anonimo]

"Legolas84":
... il professore si è sbagliato ...

Ha senz'altro commesso una svista. Infatti:

$\{(x^2+y^2 lt= z^2),(0 lt= z lt= 6):} ^^ \{(x=\rhocos\phi),(y=\rhosin\phi),(z=z):} rarr \{(\rho^2 lt= z^2),(0 lt= z lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):}$

Modo 1

1. Fisso $z$

2. $0 lt= z lt= 6$ (altrimenti l'intersezione è vuota)

3. Determino $\rho$ in funzione di $z$

4. $0 lt= \rho lt= z$

$\{(\rho^2 lt= z^2),(0 lt= z lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):} rarr \{(0 lt= \rho lt= z),(0 lt= z lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):} rarr I=\int_{0}^{6}dz\int_{0}^{z}d\rho\int_{0}^{2\pi}d\phi(2+8z)\rho$

Modo 2

1. Fisso $\rho$

2. $0 lt= \rho lt= 6$ (altrimenti l'intersezione è vuota)

3. Determino $z$ in funzione di $\rho$

4. $\rho lt= z lt= 6$

$\{(\rho^2 lt= z^2),(0 lt= z lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):} rarr \{(z gt= \rho),(0 lt= z lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):} rarr \{(\rho lt= z lt= 6),(0 lt= \rho lt= 6),(0 lt= \phi lt 2\pi):} rarr I=\int_{0}^{6}d\rho\int_{\rho}^{6}dz\int_{0}^{2\pi}d\phi(2+8z)\rho$

[dissonance]

Che grande lavoro, Sergeant Elias. Complimenti. Si vede che dietro questi post c'è un sacco di impegno di una persona competente.

[Legolas84]

Guarda, non ho parole. Quando ho fatto questo post pensavo che nessuno sarebbe venuto qui a rispondermi e invece tu non solo mi hai risposto, ma mi hai fatto notare gli errori e infine mi hai aiutato a capire dove il mio ragionamento non funzionava.

Che dire.... GRAZIE. Mi hai dato un aiuto straordinario in vista dell'esame.

[Studente Anonimo]

@ dissonance

Grazie per le belle parole.

@ Legolas84

Contento di esserti stato d'aiuto. In bocca al lupo.