HELP su Funzioni a Variazione limitata
Salve a tutti,
qualcuno sa indicarmi qualche link di dispensa/eserciziario di funzioni a variazione limitata e di funzioni assolutamente continue???
Ho degli esercizi da svolgere ma non riesco a capire come impostarli... grazie mille in anticipo!!
qualcuno sa indicarmi qualche link di dispensa/eserciziario di funzioni a variazione limitata e di funzioni assolutamente continue???
Ho degli esercizi da svolgere ma non riesco a capire come impostarli... grazie mille in anticipo!!
Risposte
Dispense in rete non ne ricordo.
Un libro carino è quello nuovo di Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics 105, AMS; i primi tre capitoli sono dedicati alle funzioni monotone, BV ed AC di una variabile, mentre i capitoli 8 e 13 sono per le funzioni AC e BV di più variabili.
Per gli esercizi potresti postare qui qualcosa.
Un libro carino è quello nuovo di Leoni, A First Course in Sobolev Spaces, Graduate Studies in Mathematics 105, AMS; i primi tre capitoli sono dedicati alle funzioni monotone, BV ed AC di una variabile, mentre i capitoli 8 e 13 sono per le funzioni AC e BV di più variabili.
Per gli esercizi potresti postare qui qualcosa.
grazie mille... per gli esercizi...eheh mi piacerebbe, ma non saprei da dove iniziare...
per dire che c'è uno: una funzione [tex]f:[-4,4] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]f(x)=|x^4-x^2|[/tex]. devo dimostrare che è a variazione limitata, calcolare la variazione [tex]V_{-4}^4(f)[/tex] e se è assolutamente continua...
per dire che c'è uno: una funzione [tex]f:[-4,4] \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]f(x)=|x^4-x^2|[/tex]. devo dimostrare che è a variazione limitata, calcolare la variazione [tex]V_{-4}^4(f)[/tex] e se è assolutamente continua...
Ad esempio, con la definizione.
Presa una decomposizione [tex]$D:=\{ -4=x_0
[tex]$V_D(f)=\sum_{n=0}^N |f(x_{n+1})-f(x_n)|$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^N \Big| |x_{n+1}^4-x_{n+1}^2|-|x_n^4-x_n^2|\Big|$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{n=0}^N \Big| (x_{n+1}^4-x_{n+1}^2)-(x_n^4-x_n^2)\Big|$[/tex]*
[tex]$= \sum_{n=0}^N |x_{n+1}^4-x_n^4|+|x_{n+1}^2-x_n^2|$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{n=0}^N (4^4+8)\ |x_{n+1}-x_n|$[/tex]**
[tex]$=(4^4+8) (x_{N+1}-x_0)$[/tex]
[tex]$=2112$[/tex];
visto che la disuguaglianza [tex]$V_D(f)\leq 2112$[/tex] vale per ogni decomposizione [tex]$D$[/tex], da ciò segue che [tex]$f\in BV([-4,4])$[/tex].
Inoltre, la tua [tex]$f(x)$[/tex] è lipschitziana in [tex]$[-4,4]$[/tex] (è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]$[-4,4]\setminus \{ \pm 1\}$[/tex] ed il suo grafico ha in [tex]$\pm 1$[/tex] due punti angolosi), quindi essa è in [tex]$AC([-4,4])$[/tex].
Per quanto riguarda il calcolo esplicito della variazione totale, visto che [tex]$f$[/tex] è assolutamente continua puoi usare l'uguaglianza:
[tex]$V_{-4}^4 (f) = \int _{-4}^4 |f^\prime (x)|\ \text{d}x $[/tex].
________
* Per la disuguaglianza triangolare [tex]$\Big| |a|-|b|\Big|\leq |a-b|$[/tex].
** Le funzioni [tex]$x\mapsto x^4,\ x\mapsto x^2$[/tex] sono lipschitziane in [tex]$[-4,4]$[/tex] (perchè hanno le derivate prime limitate) con costanti [tex]$4^4$[/tex] e [tex]$8$[/tex].
Presa una decomposizione [tex]$D:=\{ -4=x_0
[tex]$V_D(f)=\sum_{n=0}^N |f(x_{n+1})-f(x_n)|$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^N \Big| |x_{n+1}^4-x_{n+1}^2|-|x_n^4-x_n^2|\Big|$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{n=0}^N \Big| (x_{n+1}^4-x_{n+1}^2)-(x_n^4-x_n^2)\Big|$[/tex]*
[tex]$= \sum_{n=0}^N |x_{n+1}^4-x_n^4|+|x_{n+1}^2-x_n^2|$[/tex]
[tex]$\leq \sum_{n=0}^N (4^4+8)\ |x_{n+1}-x_n|$[/tex]**
[tex]$=(4^4+8) (x_{N+1}-x_0)$[/tex]
[tex]$=2112$[/tex];
visto che la disuguaglianza [tex]$V_D(f)\leq 2112$[/tex] vale per ogni decomposizione [tex]$D$[/tex], da ciò segue che [tex]$f\in BV([-4,4])$[/tex].
Inoltre, la tua [tex]$f(x)$[/tex] è lipschitziana in [tex]$[-4,4]$[/tex] (è di classe [tex]$C^\infty$[/tex] in [tex]$[-4,4]\setminus \{ \pm 1\}$[/tex] ed il suo grafico ha in [tex]$\pm 1$[/tex] due punti angolosi), quindi essa è in [tex]$AC([-4,4])$[/tex].
Per quanto riguarda il calcolo esplicito della variazione totale, visto che [tex]$f$[/tex] è assolutamente continua puoi usare l'uguaglianza:
[tex]$V_{-4}^4 (f) = \int _{-4}^4 |f^\prime (x)|\ \text{d}x $[/tex].
________
* Per la disuguaglianza triangolare [tex]$\Big| |a|-|b|\Big|\leq |a-b|$[/tex].
** Le funzioni [tex]$x\mapsto x^4,\ x\mapsto x^2$[/tex] sono lipschitziane in [tex]$[-4,4]$[/tex] (perchè hanno le derivate prime limitate) con costanti [tex]$4^4$[/tex] e [tex]$8$[/tex].
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo