Help studio di funzione
Salve a tutti!!! Ho da studiare la seguente funzione:
\[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} \]
Per quanto riguarda il dominio, è \[\left[0,+\infty\right[\] oppure \[\left]0,+\infty\right[\] ?
Passando allo studio della positività, pongo \[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} >0\] scrivo 0 come \[ \log_{4}{1}\] ottenendo
\[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} >\log_{4}{1}\]
quindi passo agli argomenti e mi trovo
\[ \sqrt[]{4^{x}-1 }>1\]
Come lo svolgo? Non credo di poter elevare tutto al quadrato, e se provo a svolgerla come una funzione irrazionale mi viene che non ho nessuna soluzione... Grazie a tutti in anticipo!!
\[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} \]
Per quanto riguarda il dominio, è \[\left[0,+\infty\right[\] oppure \[\left]0,+\infty\right[\] ?
Passando allo studio della positività, pongo \[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} >0\] scrivo 0 come \[ \log_{4}{1}\] ottenendo
\[ \log_{4}{ \sqrt[]{4^{x}-1}} >\log_{4}{1}\]
quindi passo agli argomenti e mi trovo
\[ \sqrt[]{4^{x}-1 }>1\]
Come lo svolgo? Non credo di poter elevare tutto al quadrato, e se provo a svolgerla come una funzione irrazionale mi viene che non ho nessuna soluzione... Grazie a tutti in anticipo!!
Risposte
Ciao,
io direi che $0$ è da escludersi: infatti se $x=0$ avremo
$log_4sqrt(4^0-1)=log_4sqrt(1-1)=log_4(0)$
e l'argomento del logaritmo non può essere $0$
ti sembra sensato?
Riguardo il segno, probabilmente sbaglio io (nel caso spiegami), ma non va bene
$f(x)>0$ se $x>1/2$
$f(x)=0$ se $x=1/2$
$f(x)<0$ se $x<1/2$
?
io direi che $0$ è da escludersi: infatti se $x=0$ avremo
$log_4sqrt(4^0-1)=log_4sqrt(1-1)=log_4(0)$
e l'argomento del logaritmo non può essere $0$
ti sembra sensato?
Riguardo il segno, probabilmente sbaglio io (nel caso spiegami), ma non va bene
$f(x)>0$ se $x>1/2$
$f(x)=0$ se $x=1/2$
$f(x)<0$ se $x<1/2$
?
Una volta trovato il dominio (che è $(0,+oo)$, come dice giustamente gio73)
possiamo sfruttare una delle proprietà dei logaritmi: $(log_4 n)^b = b*log_4 n$
Infatti $sqrt(4^x-1)= (4^x -1)^(1/2)$, dunque $f(x)= 1/2 *log_4(4^x-1)$
possiamo sfruttare una delle proprietà dei logaritmi: $(log_4 n)^b = b*log_4 n$
Infatti $sqrt(4^x-1)= (4^x -1)^(1/2)$, dunque $f(x)= 1/2 *log_4(4^x-1)$
Grazie delle risposte ragazzi!!! Beh sicuramente i vostri ragionamenti filano più dei miei 
Dunque se ho ben capito (e spero di si) pongo la funzione>0
scrivo 0 in forma di logaritmo e passo agli argomenti ottenendo:
\[ \sqrt{4^{x}-1}>1\]
poichè una radice è >1 se il radicando è >1 diventa
\[ 4^{x}-1>1\]
dunque
\[ 4^{x}>2\]
scrivo 2 come
\[ 4^{x}>4^{\frac{1}{2}}\]
e qui mi ricollego al discorso di gio73
\[f(x)>0\] se \[x>\frac{1}{2}\]
ecc ecc
P.s. Come faccio a non andare a capo ad ogni formula? (come ha fatto gio73 per le soluzioni)
Dunque se ho ben capito (e spero di si) pongo la funzione>0
scrivo 0 in forma di logaritmo e passo agli argomenti ottenendo:
\[ \sqrt{4^{x}-1}>1\]
poichè una radice è >1 se il radicando è >1 diventa
\[ 4^{x}-1>1\]
dunque
\[ 4^{x}>2\]
scrivo 2 come
\[ 4^{x}>4^{\frac{1}{2}}\]
e qui mi ricollego al discorso di gio73
\[f(x)>0\] se \[x>\frac{1}{2}\]
ecc ecc
P.s. Come faccio a non andare a capo ad ogni formula? (come ha fatto gio73 per le soluzioni)
"steppox":
P.s. Come faccio a non andare a capo ad ogni formula? (come ha fatto gio73 per le soluzioni)
Lui è andato a capo ad ogni formula. In ogni caso per fare le formule a lato basta usare
\(\)al posto di
\[\]
Se vuoi farle allineare in automatico senza aprire e chiudere puoi usare l’ambiente latex align. Ad esempio
\begin{align} \sqrt{4^x - 1} &> 1 \\
4^x - 1 &> 1 \\
4^x &> 4^{\frac12} \\
x &> \frac12 \end{align} Viene mostrato come\begin{align} \sqrt{4^x - 1} &> 1 \\
4^x - 1 &> 1 \\
4^x &> 4^{\frac12} \\
x &> \frac12 \end{align}
Che permette giochi di allineamento anche molto più complessi. Mentre l’ambiente cases ti permette di fare cose del tipo \[f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{ se } x>0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]
usando il codice
\[f(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{x}} & \text{ se } x>0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\]
Todo claro gracias!!!!
Perdonatemi ma ho ancora bisogno del vostro aiuto... siccome sono un pò inceppato sui limiti (e non solo)!!
Sempre per la funzione in questione, per trovare eventuali asintoti calcolo i limiti negli aperti del dominio, dunque 0 e +inf.
Nel caso di + inf devo verificare se c'è asintoto obliquo e ci siamo. Ma nel caso dello 0 ho:
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ \sqrt{4^{x}-1}}}\]
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ 0}}\]
ed è qui che il mio cervello inizia a fumare
La prof vuole che usiamo i limiti notevoli ma ad occhio non saprei utilizzarli in questo caso... Sicuramente sarà facile ma nn ci arrivo
Grazie!!!
Perdonatemi ma ho ancora bisogno del vostro aiuto... siccome sono un pò inceppato sui limiti (e non solo)!!
Sempre per la funzione in questione, per trovare eventuali asintoti calcolo i limiti negli aperti del dominio, dunque 0 e +inf.
Nel caso di + inf devo verificare se c'è asintoto obliquo e ci siamo. Ma nel caso dello 0 ho:
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ \sqrt{4^{x}-1}}}\]
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ 0}}\]
ed è qui che il mio cervello inizia a fumare
La prof vuole che usiamo i limiti notevoli ma ad occhio non saprei utilizzarli in questo caso... Sicuramente sarà facile ma nn ci arrivo
Grazie!!!
"steppox":
Todo claro gracias!!!!
Perdonatemi ma ho ancora bisogno del vostro aiuto... siccome sono un pò inceppato sui limiti (e non solo)!!
Sempre per la funzione in questione, per trovare eventuali asintoti calcolo i limiti negli aperti del dominio, dunque 0 e +inf.
Nel caso di + inf devo verificare se c'è asintoto obliquo e ci siamo. Ma nel caso dello 0 ho:
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ \sqrt{4^{x}-1}}}\]
\[\lim_{x\to 0}{\log_{4}{ 0}}\]
ed è qui che il mio cervello inizia a fumare
La prof vuole che usiamo i limiti notevoli ma ad occhio non saprei utilizzarli in questo caso... Sicuramente sarà facile ma nn ci arrivo
bé c'è poco da fare quando hai $f(x)=\log_(4)\sqrt{4^x-1}= 1/2 \log_(4) (4^x-1)$
fai $\lim_(x\to 0) f(x)=1/2 \lim_(x\to 0)\log_4 (0)= -\infty$ asintoto verticale
per l'asintoto obliquo (così controlli se hai fatto giusto)
$\lim_(x\to +\infty) f(x)=+\infty$ ok e qui ci siamo.
$m=\lim_(x\to +\infty) (f(x))/(x)=\lim_(x\to +\infty) (1/2\log_(4)(4^x-1))/(x)=1/2\lim_(x\to +\infty) (\log_4 (4^x)+\log_4 (1-(1)/(4^x)))/(x)=$
$=1/2 \lim_(x\to +\infty)(x\log_(4)(4))/(x)=1/2$
$q=\lim_(x\to +\infty) f(x)-mx=\lim_(x\to +\infty) \log_(4) (\sqrt{4^x-1})-1/2 x=\lim_(x\to +\infty )1/2 x \log_(4)(4)+1/2\log_(4) (1-(1)/(4^x))-1/2 x =$
$=lim_(x\to +\infty) 1/2 x -1/2 x=0$
asintoto obliquo $y=1/2 x$
Grazie mille zuclo!!!! Raga vi chiedo un'ultimo "sforzo" per completare questo studio di funzione 
Dopo aver trovato gli asintoti, ho posto la derivata prima della funzione >0 per vedere crescenza/decrescenza e mi viene:
\[\frac{1}{ \sqrt{4^{x}-1}} \frac{1}{2 \sqrt{4^{x}-1}}4^{x} \log_{e}{4} \log_{4}{e}>0\]
E mi viene che la funzione è sempre crescente nel domino (correggetemi se sbaglio!!!)
Ora devo vedere dove la funzione è concava o convessa ponendo la derivata seconda della funzione >0 giusto??
Ed è qui che il mio già fumante cervello comincia a liquefarsi!!!
Non so mi sembra troppo elaborata come cosa... e in ogni caso non saprei come muovermi... Qualche anima pia potrebbe gentilmente scrivermi la derivata seconda della funzione e come gli viene riguardo alla concavità/convessità? (questo sempre supponendo che il mio ragionamento sia corretto... Nel caso mi sbagli correggetemi pure)
Venghino signori venghino!!!!
Ah dimenticavo la cosa più importante GRAZIE!!
Dopo aver trovato gli asintoti, ho posto la derivata prima della funzione >0 per vedere crescenza/decrescenza e mi viene:
\[\frac{1}{ \sqrt{4^{x}-1}} \frac{1}{2 \sqrt{4^{x}-1}}4^{x} \log_{e}{4} \log_{4}{e}>0\]
E mi viene che la funzione è sempre crescente nel domino (correggetemi se sbaglio!!!)
Ora devo vedere dove la funzione è concava o convessa ponendo la derivata seconda della funzione >0 giusto??
Ed è qui che il mio già fumante cervello comincia a liquefarsi!!!
Non so mi sembra troppo elaborata come cosa... e in ogni caso non saprei come muovermi... Qualche anima pia potrebbe gentilmente scrivermi la derivata seconda della funzione e come gli viene riguardo alla concavità/convessità? (questo sempre supponendo che il mio ragionamento sia corretto... Nel caso mi sbagli correggetemi pure)
Venghino signori venghino!!!!
Ah dimenticavo la cosa più importante GRAZIE!!
Ragazzi allora? Nessuno può aiutarmi?
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