Help serie numerica

[marcptoni1996]

salve ragazzi ho un problema con una serie numerica

$ \sum n^alpha ((1/(n^(1/4))- sin (1/(n^(1/4))))$

per n che va da $1$ a $ \infty$

ora io avevo pensato di dire:
partendo da quello in parentesi so che:
$1/(n^(1/4))$ è decrescente e va da 1 che sarà il massimo a 0, che è invece l'estremo inferiore
$sin (1/(n^(1/4)))$ anche esso è descrescente e varia da 0,8.... a 0
fin qui giusto?
quindi ciò che ho in parentesi è strettamente minore di 1 visto il primo addendo vale 1 solo in n=1 e visto che entrambi sono positivi al primo sottrarrò sempre un qualcosa e quindi non potrà mai essere uguale a 1
allora ho pensato a questo punto di confrontare la mia seriè con quella armonica dicendo che se$ alpha >0$ allora avrò una serie armonica generalizzata e quindi ho pensato che la soluzione fosse $alpha < -1$
ma la mia prof di analisi ha detto che cosi non va bene e mi ha detto di sviluppare il sin con taylor fino al secondo ordine e poi vedere di che ordine di infinitesimo
solo che cosi facendo ottengo che $alpha < -1/4$ quindi mi chiedevo se dove ho sbagliato nel ragionamento che ho fatto io, e sopratutto se il secondo risultato che ho dato è giusto

[quantunquemente]

il secondo risultato che hai dato è giusto
il primo ragionamento che hai fatto è sbagliato perchè ciò che sta tra parentesi è un infinitesimo e quindi è chiaro che bisogna calcolare il suo ordine
la serie avrebbe avuto lo stesso comportamento della armonica generalizzata se il termine tra parentesi avesse avuto come limite un numero diverso da zero