Help punto di discontinuità
Vorrei sapere come procedere con questo esercizio dove ho la seguente funzione:
$ f(x)={ ( 2^(1/2x)+c, ", per "x<0 ),( (e^x-1)/(3x), ", per "x>0 ):} $
trovare c tale che in x=0 ci sia una discontinuità di prima specie con salto pari a 2.
$ f(x)={ ( 2^(1/2x)+c, ", per "x<0 ),( (e^x-1)/(3x), ", per "x>0 ):} $
trovare c tale che in x=0 ci sia una discontinuità di prima specie con salto pari a 2.
Risposte
L'esercizio chiede che
[tex]\displaystyle | \lim_{x\to 0^+} f(x) - \lim_{x\to 0^-} f(x)| =2[/tex]
basta fare i conti (ricorda che nel limite sinistro la funzione ha la prima forma, nel destro la seconda)
Paola
[tex]\displaystyle | \lim_{x\to 0^+} f(x) - \lim_{x\to 0^-} f(x)| =2[/tex]
basta fare i conti (ricorda che nel limite sinistro la funzione ha la prima forma, nel destro la seconda)
Paola
A meno che io non abbia interpretato male il testo, temo che non sia possibile avere un salto pari a $2$
Per rendersene conto basta eseguire $lim_(x->0^+) (e^x -2)/(3x)$
Per rendersene conto basta eseguire $lim_(x->0^+) (e^x -2)/(3x)$
Sicuro di non aver copiato male il testo e che non sia $e^x -1$ invece che $-2$?
Paola
Paola
Vi ringrazio per le risposte.
Avevo intuito che c'era da mettere in gioco limiti, ma non sapevo del tutto come gestirli (non ho un grande background matematico dalle superiori).
L'ho copiata al volo a fine lezione, quindi ci sta che abbia copiato male. L'importante è che ora ho abbastanza chiaro il procedimento.
Solo due cose, la 'c' me la trovo poi orientandomi in base ai risultati dei limiti o devo eseguire qualche operazione matematica proprio per risalirvi? E la f(x) nei limiti la gestisco mettendo una volta la prima sottofunzione ed una volta la seconda?
EDIT: sulla seconda domanda dovrei aver capito, nel caso del $0^-$ la mia f(x) è la prima sottofunzione, nel caso del $0^+$ la seconda (tra l'altro come mi avevi già scritto tra parentesi Paola, mi era sfuggito
). Rimane la questione del come trovare la 'c'.
EDIT2: ok, direi che anche come trovare la 'c' è chiarissimo. Chiamiamo il primo limite 'a', il secondo limite 'b' (e poi nel secondo limite c'è anhe limite di 'c' che essendo una costante è 'c' stesso) ed avremo a-(b+c)=4, da cui c=a-b-4.
Avevo intuito che c'era da mettere in gioco limiti, ma non sapevo del tutto come gestirli (non ho un grande background matematico dalle superiori).
L'ho copiata al volo a fine lezione, quindi ci sta che abbia copiato male. L'importante è che ora ho abbastanza chiaro il procedimento.
Solo due cose, la 'c' me la trovo poi orientandomi in base ai risultati dei limiti o devo eseguire qualche operazione matematica proprio per risalirvi? E la f(x) nei limiti la gestisco mettendo una volta la prima sottofunzione ed una volta la seconda?
EDIT: sulla seconda domanda dovrei aver capito, nel caso del $0^-$ la mia f(x) è la prima sottofunzione, nel caso del $0^+$ la seconda (tra l'altro come mi avevi già scritto tra parentesi Paola, mi era sfuggito
). Rimane la questione del come trovare la 'c'.EDIT2: ok, direi che anche come trovare la 'c' è chiarissimo. Chiamiamo il primo limite 'a', il secondo limite 'b' (e poi nel secondo limite c'è anhe limite di 'c' che essendo una costante è 'c' stesso) ed avremo a-(b+c)=4, da cui c=a-b-4.
Esatto tutto, tranne le ultimissime cose che hai scritto, sono imprecise più che altro: calcoli il primo limite, calcoli il secondo (e nel secondo ti resterà la $c$ tra i piedi), poi metti in valore assoluto (perché il salto deve essere $2$ ma non sai quale funzione "sta sopra" e quale sotto, devono venirti 2 valori possibili di $c$) ed eguagli a $2$, non a $4$.
Paola
Paola
WTF! Stavo facendo un altro esercizio mentre scrivevo qui e siccome avevo un 4 li, l'ho scritto anche qui poi
Già, ci saranno 2 valori per 'c' visto che è tutto nel valore assoluto e quindi devo considerare sia il caso positivo che negativo (errore di distrazione sempre per via del fatto che facevo altra roba contemporaneamente).
Tra l'altro deve essere per forza $-1$ nella funzione per $x>0$ e non $-2$ come giustamente avete fatto notare, altrimenti il limite verrebbe $ -oo $, incappando in una discontinuità di seconda specie (correggo nella traccia).
Allora, in definitiva:
$ lim_(x -> 0^+) (e^x-1)/(3x) $ viene forma indeterminata $0/0$, possiamo applicare la regola di De L'Hopital e facciamo quindi in limite del rapporto tra le singole derivate (del numeratore e denominatore) ottenendo $ lim_(x -> 0^+) e^x/3 =1/3$
$ lim_(x -> 0^-) 2^(1/2x)+c =1+c$
$|1/3-(1+c)|=2 \ \ \ -> \ \ \ { ( 1/3-1-c=2 \ \ \ => \ \ \ c=-8/3 \ \ \ \ \ per x>0 ),( -1/3+1+c=2 \ \ \ => \ \ \ c=4/3 \ \ \ \ \ per x<0 ):} $
Già, ci saranno 2 valori per 'c' visto che è tutto nel valore assoluto e quindi devo considerare sia il caso positivo che negativo (errore di distrazione sempre per via del fatto che facevo altra roba contemporaneamente).
Tra l'altro deve essere per forza $-1$ nella funzione per $x>0$ e non $-2$ come giustamente avete fatto notare, altrimenti il limite verrebbe $ -oo $, incappando in una discontinuità di seconda specie (correggo nella traccia).
Allora, in definitiva:
$ lim_(x -> 0^+) (e^x-1)/(3x) $ viene forma indeterminata $0/0$, possiamo applicare la regola di De L'Hopital e facciamo quindi in limite del rapporto tra le singole derivate (del numeratore e denominatore) ottenendo $ lim_(x -> 0^+) e^x/3 =1/3$
$ lim_(x -> 0^-) 2^(1/2x)+c =1+c$
$|1/3-(1+c)|=2 \ \ \ -> \ \ \ { ( 1/3-1-c=2 \ \ \ => \ \ \ c=-8/3 \ \ \ \ \ per x>0 ),( -1/3+1+c=2 \ \ \ => \ \ \ c=4/3 \ \ \ \ \ per x<0 ):} $
Tutto ok, tranne una cosa:
non è che $c= -8/3$ per $x>0$ e $c=4/3$ per $x<0$.
Ti ricordo il testo del problema:
"Trovare $c$ tale che in $x=0$ ci sia una discontinuità di prima specie con salto pari a 2."
Quindi, semplicemente, dovevi scrivere che ci sono due soluzioni: $c= -8/3$ e $c=4/3$. Ok?
non è che $c= -8/3$ per $x>0$ e $c=4/3$ per $x<0$.
Ti ricordo il testo del problema:
"Trovare $c$ tale che in $x=0$ ci sia una discontinuità di prima specie con salto pari a 2."
Quindi, semplicemente, dovevi scrivere che ci sono due soluzioni: $c= -8/3$ e $c=4/3$. Ok?
Ops, ok. Grazie di nuovo per il supporto. Come sempre, forum validissimo 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo