Help Problema di Cauchy

[Fedez891]

Ciao a tutti, non riesco a risolvere correttamente il seguente problema di Cauchy:

$ { ( y''+(y')^2+1=0 ),( y(0)=0 ),( y'(0)=1 ):} $

Ho cercato di risolverlo come ED autonoma tramite la sostituzione $ z = y' rarr y'' = zz' $
e quindi trovando $ zz'+z^2+1=0 rarr z'+z+1/z $
Ma procedendo nei calcoli arrivo ad una soluzione differente rispetto a wolfram: http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 280%29%3D1
che effettua la sostituzione iniziale $ z = y' rarr y'' = z' $ e quindi $ z'+z^2+1=0 $
Qualcuno potrebbe illuminarmi sul perchè wolfram usa la sostituzione $ z = y' rarr y'' = z' $ e non quella che si dovrebbe utilizzare per le ED autonome ovvero $ z = y' rarr y'' = zz' $ ???

Grazie!!

[Rigel1]

Se \(z = y'\), allora \(z' = y''\).

[Fedez891]

Ok ma ho scritto la formula semplificata delle ED autonome. Quella estesa è $ z(y(t)) = y'(t) rarr y''(t) = z'(y)z(y) $

[Mrs92]

Nei casi simili al tuo in cui si può ridurre il grado dell'equazione la sostituzione corretta è quella data da rigel, dopo di che puoi procedere con una separazione di variabili...

[Fedez891]

Ok grazie mille. Credevo non si potesse usare quella sostituzione e invece mi sbagliavo.