Help principio di induzione

[JacopoR1]

Salve a tutti, in vista del primo parziale di Analisi 1 ho riscontrato problemi nella risoluzione del seguente esercizio e ho pensato di chiedere aiuto qui sul Forum.

L'esercizio è il seguente: Dimostrare per induzione che (9^n + 3) è divisibile per 4 per ogni n.

Dopo aver dimostrato il passo base per n=1, non riesco a svolgere il passo induttivo sostituendo ad n il valore n+1.

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[Gi81]

Tieni presente che per ogni $n in NN$ si ha $9^(n+1) +3 = 9*9^n +3 = 9*(9^n +3) +3 -27 = 9*(9^n +3)- 24$, quindi ...

[JacopoR1]

"Gi8":Tieni presente che per ogni $n in NN$ si ha $9^(n+1) +3 = 9*9^n +3 = 9*(9^n +3) +3 -27 = 9*(9^n +3)- 24$, quindi ...

Scusa l'ignoranza, mi sono perso al terzo passaggio, potresti spiegarmi per favore?

[Gi81]

Immagino che il terzo passaggio sia $9*9^n +3 = 9 *(9^n+3) +3 -27$
In pratica, ho aggiunto e sottratto $27$, e il $+27$ l'ho trasformato in $9*3$, per poi raccogliere il $9$ a fattor comune:
$9*9^n +3 = 9*9^n +3 +27 - 27 = 9*9^n +3 +9*3 -27 = 9*(9^n +3) +3- 27$

Ora, la domanda è: perché ho fatto tutto ciò?
Risposta: per avere "qualcosa" con $9^n +3$. In questo modo $9^(n+1)+ 3 $ e $9^n +3$ sono legati.

[JacopoR1]

Perfetto ho capito il passaggio. Grazie infinite mi hai salvato!

[gugo82]

Supponiamo che $9^n + 3 = 4h$ con $ h in NN$ (ipotesi induttiva) e mostriamo che $9^(n+1) + 3 = 4 H$ con $H in NN$ (tesi induttiva).

Abbiamo:
\[
\begin{split}
9^{n+1} + 3 &= 9\cdot \underbrace{9^n}_{= 4h - 3}+ 3 \\
&= 9\cdot ( 4h - 3) + 3 \\
&= 4\cdot 9h - 24 \\
&= 4\cdot \underbrace{(9h - 6)}_{=:H} \\
&= 4H
\end{split}
\]
e siamo a cavallo.

[JacopoR1]

Presentata in questo modo sembra molto piu' intuitiva, grazie mille anche a lei!