Help per integrale

[Butterfly1]

Qualcuno mi sa aiutare a risolvere questo integrale...Sto facendo una convoluzione tra una gaussiana e un triangolo...
Grazie

M*Integ[a,b](t*exp(-(g-t)^2/(2*s^2))dt)+C*Integ[a,b](exp(-(g-t)^2/(2*s^2))dt)

[goblyn]

Ciao!

Immagino che a e b siano - e + infinito se stai facendo una convoluzione.

Chiamiamo
I= 1/sqrt(2*pi)*INT [a,b] ( exp(-(q^2)/2) dq)

pi è pigreco. I vale 1 perché è l'integrale di una gaussiana standard da -inf a +inf.

Poni q=(t-g)/s

da cui

t=g+sq e quindi dt=s*dq

Il primo integrale diventa

M*s*INT[a,b] ( (g+sq)*exp(-(q^2)/2) dq) =

= M*s*g*INT[a,b] (exp(-(q^2)/2) dq) +
+ M*(s^2)*INT [a,b] (q*exp(-(q^2)/2) dq) =

= M*s*g*sqrt(2*pi) * I + M*(s^2)*INT [a,b] (q*exp(-(q^2)/2) dq) =

= M*s*g*sqrt(2*pi)

Infatti il secondo addendo è una funzione dispari integrata in un dominio pari.

Il secondo integrale con la stessa sostituzione diventa:

C*s*INT[a,b] (exp(-(q^2)/2) dq) =
= C*s*sqrt(2*pi) * I =
= C*s*sqrt(2*pi)

In totale abbiamo: s*sqrt(2*pi) * (M*g+C)


Se gli estremi non fossero + e - inf dimmelo ma il procedimento è simile!
Ciao!!!

goblyn

[Butterfly1]

Grazie mille!!!
Ma gli estremi sono due generici a e b che definiscono i limiti del triangolo...

infatti la g in questione è una retta g=mx+c che interseca l'asse delle ascisse in a.
Il triangolo è quindi limitato da questa retta, dall'asse delle ascisse e dalla retta x=b.

Mi dispiace se non mi sono spiegata bene...
ancora grazie
Barbie

[Butterfly1]

Provo a spiegarmi meglio...
La convoluzione viene fatta tra
un triangolo T(g)=gM+C per a e una gaussiana G(g)=(1/sqrt(2*pi*(s^2)))*exp(-g^2/(2s^2))

dopo alcuni passaggi ero giunta alla somma degli integrali scritti nel primo post...
Grazie

[goblyn]

Ok, rifacciamo.
Scusami, cambio i nomi perché sono più comodo...

Triangolo=g(t)
g(t)=Mt+C con a<=t<=b; 0 altrove

G(t)=gaussiana di varianza pari a s^2 (quella che hai scritto anche tu)

N(t)=gaussiana standard (1/sqrt(2*pi)*exp(-(t^2)/2) )

T(t)= INT[-inf;t] ( N(q)dq ) (Tabulata sui manuali, non risolvibile analiticamente)

La convoluzione la chiamiamo J(q).

J(q) = INT[-inf;+inf] ( G(t) * g(q-t) dt )

Ma l'integranda è nulla se l'argomento di g sta fuori dall'intervallo [a;b].

Cioè gli estremi dell'integrale si possono ridurre a a' e b' dove

a'=q-b
b'=q-a

J(q) = INT[a';b'] ( G(t) * (M(q-t) + C) dt )

J(q) = INT[a';b'] ( (Mq+C)*G(t) -Mt*G(t) dt)

J(q) = (Mq+C)*INT[a';b'] ( G(t) dt) + INT[a';b'](-Mt*G(t) dt)

Chiamiamo il primo integrale Q e il secondo R:

J(q)= Q(q) + R(q)

Dedichiamoci a Q(q):

Q(q)= (Mq+C)*INT[a'/s;b'/s] (N(t)dt) =
= (Mq+C)*( T(b'/s)-T(a'/s) ) =
= (Mq+C)*( T((q-a)/s)-T((q-b)/s) )

Ora dedichiamoci a R(q):

Osserviamo che G'(t)=(t/s^2)*G(t), quindi:
G(t)=((s^2)/t)*G'(t)
R(q) diventa allora:

INT[a';b'](-Mt*((s^2)/t)*G'(t) dt)=
= -M*s^2*INT[a';b'](G'(t)dt) =
= -M*s^2*(G(b')-G(a'))=
= -M*s^2*(G(q-a)-G(q-b))

In definitiva

J(q) = (Mq+C)*( T((q-a)/s)-T((q-b)/s) ) -
-M*s^2*(G(q-a)-G(q-b))

dove G è la gaussiana di partenza e T una primitiva della Gaussiana standard.
Ciao!!!

goblyn





Modificato da - goblyn il 09/05/2003 18:34:08

Modificato da - goblyn il 09/05/2003 18:36:17

Modificato da - goblyn il 09/05/2003 18:39:38

[Butterfly1]

I'm sorry,

ma non riesco a capire il passaggio


Q(q)= (Mq+C)*sqrt(2*pi*s^2)*INT[a';b'] (N(t)dt)

in cui esprimi la mia gaussiana con deviazione s in funzione della gaussiana normalizzata...

operando una semplice sostituzione non mi ritrovo allo stesso risultato...

[goblyn]

ciao barbie!

In effetti ho fatto un errore. Infatti nel nostro caso, operando la sostituzione

t/s=w:

INT[a';b'](G(t)dt) = INT[a'/s;b'/s](N(q)dq)

Così dovrebbe tornarti.
Ho corretto il mio ultimo messaggio se vuoi rivederlo.
Ciao!

goblyn


Modificato da - goblyn il 13/05/2003 01:42:32