Help litmiti e serie di base
Ciao ragazzi, ho dato l'esame di analisi e ho un paio di dubbi sulla risoluzione di 2 esercizi, spero siate così gentili da aiutarmi ancora una volta 
$1)$ Il primo è questo limite:
$ lim_(x -> oo)(x-6)e^(-1/x)-x = lim_(x -> oo) - 6*[(e^(- 1/x) + e^(- 1/x)/(x/(-6)) - 1)/(1/(x/(-6)))]= -6[ 1/-6 -1] = -6[(-7)/(-6)]=-7 $
Non sono sicuro al 100% di come ho applicato il limite notevole, non vorrei che il risultato corretto sia solo una mera coincidenza.
L'avreste risolto diversamente? magari più semplicemente?
$2)$ Il secondo è questa serie numerica:
$ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) $
Non avevo molto tempo, ho intuito che dal criterio della radice non sarei riuscito ad ottenere informazioni sulla convergenza tanto facilmente.
Anche il criterio del rapporto non mi facilitava di molto le cose essendoci delle addizioni, così ho pensato di utilizzare il confronto asintotico:
$ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) ~~ (n!)/n^n $
Il primo dubbio nasce proprio qui. E' lecito il confronto da me impostato?
Il mio ragionamento è stato di pensare ad $ n-> oo$ gli infiniti $n!$ e $n^n$ dovrebbero essere maggiori, quindi gli altri termini si possono trascurare.
Calcolare infine la convergenza tramite il criterio del rapporto di $ sum_(n=1)^(n = oo) ( n!)/(n^n) $ e una questione elementare ed è $1/e$.
A questo punto ho dedotto che essendo convergente la serie $ sum_(n=1)^(n = oo) ( n!)/(n^n) $ per il confronto asintotico lo è anche $ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) $
Secondo voi il mio ragionamento è corretto oppure ho scritto un mare di cavolate?
Grazie per l'aiuto!
$1)$ Il primo è questo limite:
$ lim_(x -> oo)(x-6)e^(-1/x)-x = lim_(x -> oo) - 6*[(e^(- 1/x) + e^(- 1/x)/(x/(-6)) - 1)/(1/(x/(-6)))]= -6[ 1/-6 -1] = -6[(-7)/(-6)]=-7 $
Non sono sicuro al 100% di come ho applicato il limite notevole, non vorrei che il risultato corretto sia solo una mera coincidenza.
L'avreste risolto diversamente? magari più semplicemente?
$2)$ Il secondo è questa serie numerica:
$ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) $
Non avevo molto tempo, ho intuito che dal criterio della radice non sarei riuscito ad ottenere informazioni sulla convergenza tanto facilmente.
Anche il criterio del rapporto non mi facilitava di molto le cose essendoci delle addizioni, così ho pensato di utilizzare il confronto asintotico:
$ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) ~~ (n!)/n^n $
Il primo dubbio nasce proprio qui. E' lecito il confronto da me impostato?
Il mio ragionamento è stato di pensare ad $ n-> oo$ gli infiniti $n!$ e $n^n$ dovrebbero essere maggiori, quindi gli altri termini si possono trascurare.
Calcolare infine la convergenza tramite il criterio del rapporto di $ sum_(n=1)^(n = oo) ( n!)/(n^n) $ e una questione elementare ed è $1/e$.
A questo punto ho dedotto che essendo convergente la serie $ sum_(n=1)^(n = oo) ( n!)/(n^n) $ per il confronto asintotico lo è anche $ sum_(n=1)^(n = oo) (5^-n + n!)/(3^n+n^n) $
Secondo voi il mio ragionamento è corretto oppure ho scritto un mare di cavolate?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
2) Si, infatti quella funzione si comporta proprio come $(n!)/(n^n)$; te ne accorgi se provi a dividere tutti i termini per $n!$ e poi tendi $n$ all'inifinito
Grazie mille per la conferma, mi dai una bella notizia
per il primo mi sa che ho scritto una gran cavolata, penso di essermi inventato un mio limite notevole
apparte l'utilizzo di de l'hopital , qualcuno mi sa aiutare a risolverlo con i limiti notevoli?
per il primo mi sa che ho scritto una gran cavolata, penso di essermi inventato un mio limite notevole
apparte l'utilizzo di de l'hopital , qualcuno mi sa aiutare a risolverlo con i limiti notevoli?
Magari vedendola così:
[tex](x-6)e^{-\frac{1}{x}}-x=-6e^{-\frac{1}{x}}+x(e^{-\frac{1}{x}}-1)[/tex]
E' praticamente finito
[tex](x-6)e^{-\frac{1}{x}}-x=-6e^{-\frac{1}{x}}+x(e^{-\frac{1}{x}}-1)[/tex]
E' praticamente finito
cavolo sono proprio un fesso era talmente evidente..!! A volte mi fisso su una soluzione e non vedo altro 
Grazie mille!!
Grazie mille!!
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