HELP: LIMITI CON TAYLOR
A tutt'oggi credo di non essere mai riuscito a risolvere un limite che richiedesse l'ultilizzo delle formule di Taylor, non avendo colto (se mai esitesse) alcuna regola che disciplini l'ordine di sviluppo in relazione alla tipologia di funzione e/o espressione del cui limite si richiede lo svolgimento. 
per farla breve: come stabilisco a che ordine sviluppare una singola funzione all'interno del limite?
grazie
per farla breve: come stabilisco a che ordine sviluppare una singola funzione all'interno del limite?
grazie
Risposte
Con Taylor non c'è una regola ben precisa, ci vuole un po' di occhio e un po' di esperienza.
Non c'è una regola generale, dipende da caso a caso; ad esempio:
$f(x)=(sinx-x)/x^3$
e vuoi calcolare:
$lim_{x->0} f(x)$
se sviluppi al solo primo ordine la funzione trigonometrica seno ottieni:
$sinx =x+o(x)$ per $x->0$
sostituendo hai:
$f(x)= (x + o(x) - x)/x^3=(o(x))/x^3=o(1/x^2)$ per $x->0$
che non ti dà informazioni utili sull'esistenza, nè tantomeno, sul valore di tale limite.
Se invece sviluppi al terzo ordine il seno ottieni:
$sinx =x- x^3/(3!)+o(x^3)$ per $x->0$
adesso procedendo come sopra avrai:
$f(x)= (x- x^3/6+o(x^3) - x)/x^3 = (-x^3/6 + o(x^3))/x^3~-1/6x^3/x^3->-1/6$ per $x->0$
dove l'ultima uguaglianza asintotica vale perchè o(x^3) è un simbolo che rappresenta un'insieme di funzioni infinitesime di ordine superiore rispetto ad $x^3$; pertanto tu dovresti sapere che in una somma di infinitesimi prevale quello di ordine inferiore (che nel nostro caso specifico è $-1/6x^3$) e tutti i termini di ordine superiore (nell'esempio quelli contenuti all'interno di $o(x^3)$) sono trascurabili nel calcolo del limite. In definitiva abbiamo che:
$lim_{x->0}f(x)=-1/6$
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Comunque non ti abbattere se non capisci tutto subito ci vuole un po' di tempo per riuscire a "digerire" questi concetti. Se hai bisogno chiedi pure.
$f(x)=(sinx-x)/x^3$
e vuoi calcolare:
$lim_{x->0} f(x)$
se sviluppi al solo primo ordine la funzione trigonometrica seno ottieni:
$sinx =x+o(x)$ per $x->0$
sostituendo hai:
$f(x)= (x + o(x) - x)/x^3=(o(x))/x^3=o(1/x^2)$ per $x->0$
che non ti dà informazioni utili sull'esistenza, nè tantomeno, sul valore di tale limite.
Se invece sviluppi al terzo ordine il seno ottieni:
$sinx =x- x^3/(3!)+o(x^3)$ per $x->0$
adesso procedendo come sopra avrai:
$f(x)= (x- x^3/6+o(x^3) - x)/x^3 = (-x^3/6 + o(x^3))/x^3~-1/6x^3/x^3->-1/6$ per $x->0$
dove l'ultima uguaglianza asintotica vale perchè o(x^3) è un simbolo che rappresenta un'insieme di funzioni infinitesime di ordine superiore rispetto ad $x^3$; pertanto tu dovresti sapere che in una somma di infinitesimi prevale quello di ordine inferiore (che nel nostro caso specifico è $-1/6x^3$) e tutti i termini di ordine superiore (nell'esempio quelli contenuti all'interno di $o(x^3)$) sono trascurabili nel calcolo del limite. In definitiva abbiamo che:
$lim_{x->0}f(x)=-1/6$
Spero di essere stato abbastanza chiaro. Comunque non ti abbattere se non capisci tutto subito ci vuole un po' di tempo per riuscire a "digerire" questi concetti. Se hai bisogno chiedi pure.
Ho pensato che un solo esempio non sia sufficiente quindi se dovessi calcolare:
$lim_{x->0} f(x)$ con $f(x) = (tgx -sinx)/x^3$
le prime volte andrai un po' a caso poi ci farai l'abitudine; tu sai che:
$tgx=x+o(x)$ per $x->0$ e che $sinx=x+o(x)$ per $x->0$
sostituendo ottieni:
$f(x)= (x+o(x) - x +o(x))/x^3 = (o(x))/x^3 = o(1/x^2)$ per $x->0$
e dunque non puoi concludere nulla sviluppando al solo primo ordine; dunque proviamo al terzo (al secondo è inutile tentare; infatti le funzioni sono entrambe dispari, perciò i coefficienti pari dello sviluppo sono identicamente nulli e quindi il polinomio di Mc Laurin al primo o al secondo ordine coincide). Abbiamo:
$tgx=x+1/3x^3+o(x^3)$ per $x->0$ e che $sinx=x-1/6x^3+o(x^3)$ per $x->0$
e sustituendo abbiamo subito
$f(x)= (x+1/3x^3+o(x^3) - [x-1/6x^3+o(x^3)])/x^3 = (x+1/3x^3+o(x^3) - x+1/6x^3+o(x^3))/x^3= (1/2x^3 + o(x^3))/x^3~ 1/2x^3/x^3->1/2$ per $x->0$
Dunque:
$lim_{x->0}f(x)= 1/2$
$lim_{x->0} f(x)$ con $f(x) = (tgx -sinx)/x^3$
le prime volte andrai un po' a caso poi ci farai l'abitudine; tu sai che:
$tgx=x+o(x)$ per $x->0$ e che $sinx=x+o(x)$ per $x->0$
sostituendo ottieni:
$f(x)= (x+o(x) - x +o(x))/x^3 = (o(x))/x^3 = o(1/x^2)$ per $x->0$
e dunque non puoi concludere nulla sviluppando al solo primo ordine; dunque proviamo al terzo (al secondo è inutile tentare; infatti le funzioni sono entrambe dispari, perciò i coefficienti pari dello sviluppo sono identicamente nulli e quindi il polinomio di Mc Laurin al primo o al secondo ordine coincide). Abbiamo:
$tgx=x+1/3x^3+o(x^3)$ per $x->0$ e che $sinx=x-1/6x^3+o(x^3)$ per $x->0$
e sustituendo abbiamo subito
$f(x)= (x+1/3x^3+o(x^3) - [x-1/6x^3+o(x^3)])/x^3 = (x+1/3x^3+o(x^3) - x+1/6x^3+o(x^3))/x^3= (1/2x^3 + o(x^3))/x^3~ 1/2x^3/x^3->1/2$ per $x->0$
Dunque:
$lim_{x->0}f(x)= 1/2$
ti ringrazio moltissimo fabry per la tempestività e la pazienza dimostrate nel rispondermi, ciò non di meno le mie difficoltà in materia riguardano più l'ambito applicativo che quello concettuale, di per se chiaro.
ad esempio: esiste una regola che mi obblighi, all'interno di una stessa espressione, a sviluppare tutte le funzioni che la compongono al medesimo ordine? inoltre mi risulta di difficile comprensione (sulla base del pdf recante gli sviluppi notevoli fornito dal docente : http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=118) il significato preciso di "ordine" non comprendendo se si riferisca all'esponente della x o alla numerazione ordinale delle diverse singole espressioni che costituiscono la serie di taylor. infine non mi torna il "grado" degli opiccoli da te utilizzati (sempre sulla base della suddetta fotocopia)
ringrazio anticipatemente quanti sprecheranno un pizzico del proprio tempo x sanare il mio handicap
ad esempio: esiste una regola che mi obblighi, all'interno di una stessa espressione, a sviluppare tutte le funzioni che la compongono al medesimo ordine? inoltre mi risulta di difficile comprensione (sulla base del pdf recante gli sviluppi notevoli fornito dal docente : http://web.mate.polimi.it/viste/student ... amento=118) il significato preciso di "ordine" non comprendendo se si riferisca all'esponente della x o alla numerazione ordinale delle diverse singole espressioni che costituiscono la serie di taylor. infine non mi torna il "grado" degli opiccoli da te utilizzati (sempre sulla base della suddetta fotocopia)
ringrazio anticipatemente quanti sprecheranno un pizzico del proprio tempo x sanare il mio handicap
Mi permetto di risponderti io. Fabry ti ha mostrato l'utilizzo dello sviluppo di Taylor in limiti che presentano forme indeterminate. Quello che puoi leggere nel pdf è lo sviluppo in serie di Taylor di alcune funzioni.
Beh per quanto riguarda l'ordine di sviluppo si intende l'ordine massimo della derivata che compare. Circa il discorso se c'è una regola per sviluppare le funzioni tutte allo stesso ordine la risposta è in generale no. Negli esempi che ti ho portato era così, ma se ne posso costruire altri dove questo è falso; per esempio:
$(sinxtgx - x^2)/log(1 +x^4) = ([x-1/6x^3+o(x^3)].[x+1/3x^3 +o(x^3)] -x^2)/(x^4+o(x^4)) = (x^2 +1/3x^4-1/6x^4 +o(x^4) - x^2)/(x^4+o(x^4)) = (1/6x^4 +o(x^4))/(x^4+o(x^4))~1/6x^4/x^4->1/6$ per $x->0$
Qui puoi notare che la funzione $log(1 + x^4)$ è stata sviluppata al quarto ordine, mentre le funzioni $tgx$ e $sinx$ solo al terzo. Da notare poi che il termine $-1/18x^6$, che comparirebbe applicando la proprietà distributiva tra le parentesi quadre, è ,per $x->0$, un infinitesimo di ordine superiore a $x^4$ per $x->0$ e quindi è stato convogliato in $o(x^4)$.
Infine per ciò che ho letto sul sito del tuo docente, non vorrei peccare di superbia, ma credo ci siano degli errori di cui probabilmente non si sarà accorto.
Il mio consiglio è quello di sviluppare al primo ordine e poi controllare che non si verifichino circostanze in cui non puoi concludere nulla. In questo caso procedi sviluppando al secondo, poi al terzo e così via finchè non arrivi a poter calcolare, sempre che esista, il valore del limite. Così facendo diventa molto noiso e soprattutto eterno, però non sbaglierai. Dopo un po' di pratica comunque imparerai a capire fin da subito a che ordine dovrai arrestarti. Spero di aver risposto in modo esauriente a tutte le tue domande, ma se hai ancora bisogno prima o poi io passo di nuovo qui (oppure ci sarà qualcuno anche migliore di me), quindi chiedi pure.
$(sinxtgx - x^2)/log(1 +x^4) = ([x-1/6x^3+o(x^3)].[x+1/3x^3 +o(x^3)] -x^2)/(x^4+o(x^4)) = (x^2 +1/3x^4-1/6x^4 +o(x^4) - x^2)/(x^4+o(x^4)) = (1/6x^4 +o(x^4))/(x^4+o(x^4))~1/6x^4/x^4->1/6$ per $x->0$
Qui puoi notare che la funzione $log(1 + x^4)$ è stata sviluppata al quarto ordine, mentre le funzioni $tgx$ e $sinx$ solo al terzo. Da notare poi che il termine $-1/18x^6$, che comparirebbe applicando la proprietà distributiva tra le parentesi quadre, è ,per $x->0$, un infinitesimo di ordine superiore a $x^4$ per $x->0$ e quindi è stato convogliato in $o(x^4)$.
Infine per ciò che ho letto sul sito del tuo docente, non vorrei peccare di superbia, ma credo ci siano degli errori di cui probabilmente non si sarà accorto.
Il mio consiglio è quello di sviluppare al primo ordine e poi controllare che non si verifichino circostanze in cui non puoi concludere nulla. In questo caso procedi sviluppando al secondo, poi al terzo e così via finchè non arrivi a poter calcolare, sempre che esista, il valore del limite. Così facendo diventa molto noiso e soprattutto eterno, però non sbaglierai. Dopo un po' di pratica comunque imparerai a capire fin da subito a che ordine dovrai arrestarti. Spero di aver risposto in modo esauriente a tutte le tue domande, ma se hai ancora bisogno prima o poi io passo di nuovo qui (oppure ci sarà qualcuno anche migliore di me), quindi chiedi pure.
Ho controllato anche sul libro e gli sviluppi del docente tornano mentre invece quelli di fabry no(per quanto riguarda l'ordine di infinitesimo della x). Infatti per quando riguarda le funzioni trigonometriche l'o piccolo ha un grado superiore n+1volte rispetto alla derivata a cui ti fermi.
$tgx=x+(x^(3))/3+0(x^4)$
Una spiegazione potrebbe risiedere nel fatto che, sviluppando con Taylor le funzioni trigonometriche, i termini ottenuti differiscono di un esponente 2 volte superiore rispetto al precedente. Mancando, quindi, l'esponente superiore di uno rispetto al termine precedente, possiamo aumentare l'ordine dell'o piccolo di uno.
Non so se sono stato chiaro
$tgx=x+(x^(3))/3+0(x^4)$
Una spiegazione potrebbe risiedere nel fatto che, sviluppando con Taylor le funzioni trigonometriche, i termini ottenuti differiscono di un esponente 2 volte superiore rispetto al precedente. Mancando, quindi, l'esponente superiore di uno rispetto al termine precedente, possiamo aumentare l'ordine dell'o piccolo di uno.
Non so se sono stato chiaro
Ma scusami Archimede solitamente è vero che:
$tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^4)$ ma non è falso (e in questi casi era anche più conveniente) scrivere $tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^3)$
Se pensi sia sbagliato applica la definizione di simbolo di o-piccolo e verifica che il rapporto tra la funzione e il polinomio di Mc Laurin tende a 0.
Inoltre prova a prendere lo sviluppo di $sinx$ in quella pagina web (a parte l'omissione di parentesi prima del fattoriale):
$sinx=sum_{k=1}^n(-1)^k x^{2k+1}/((2k+1)!) + o(x^{2n+2})$
come prima cosa la somma con il termine generale scritto così dovrebbe partire da $3$ e quindi bisogna scriverla così:
$sinx=sum_{k=1}^n(-1)^k x^{2k-1}/((2k-1)!) + o(x^{2n+2})$
se ora provi con questa formula a sviluppare $sinx$ anche solo al primo ordine avresti:
$sinx=-x+o(x^2)$
che palesemente sbagliata infatti:
$(sinx+x)/x^2~(2x)/x^2=2/x->+infty ne 0$ per $x->0^+$
$tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^4)$ ma non è falso (e in questi casi era anche più conveniente) scrivere $tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^3)$
Se pensi sia sbagliato applica la definizione di simbolo di o-piccolo e verifica che il rapporto tra la funzione e il polinomio di Mc Laurin tende a 0.
Inoltre prova a prendere lo sviluppo di $sinx$ in quella pagina web (a parte l'omissione di parentesi prima del fattoriale):
$sinx=sum_{k=1}^n(-1)^k x^{2k+1}/((2k+1)!) + o(x^{2n+2})$
come prima cosa la somma con il termine generale scritto così dovrebbe partire da $3$ e quindi bisogna scriverla così:
$sinx=sum_{k=1}^n(-1)^k x^{2k-1}/((2k-1)!) + o(x^{2n+2})$
se ora provi con questa formula a sviluppare $sinx$ anche solo al primo ordine avresti:
$sinx=-x+o(x^2)$
che palesemente sbagliata infatti:
$(sinx+x)/x^2~(2x)/x^2=2/x->+infty ne 0$ per $x->0^+$
Hai sbagliato a scrivere la sommatoria la seconda volta. x è elevato a 2k+1. Inoltre, secondo Mac Laurin, la sommatoria parte da 0. Se la scrivi così ti trovi.
$sinx=sum_{k=0}^n(-1)^k x^{2k+1}/((2k+1)!) + o(x^{2n+2})$
Per $k=0$ $sinx=x+0(x^2)$
Così ci troviamo.
Riguardo al $lim_(x->0)(sinx-x)/x^2=lim_(x->0)(x+0(x^2)+x)/x^2=lim_(x->0)(2x+0(x^2))/x^2=+oo$
$sinx=sum_{k=0}^n(-1)^k x^{2k+1}/((2k+1)!) + o(x^{2n+2})$
Per $k=0$ $sinx=x+0(x^2)$
Così ci troviamo.
Riguardo al $lim_(x->0)(sinx-x)/x^2=lim_(x->0)(x+0(x^2)+x)/x^2=lim_(x->0)(2x+0(x^2))/x^2=+oo$
Hai ragione che parte da 0 e non da una la somma. Il denominatore del termine cubico è 3 non 6 e il limite fa 0 (prova con De Lospital). Poi hai sbagliato un segno nella verifica dello sviluppo:
$sinx=x+o(x^2)$ però è vero anche $sinx=x+o(x)$
$sinx=x+o(x^2)$ però è vero anche $sinx=x+o(x)$
"fabry1985mi":
Ma scusami Archimede solitamente è vero che:
$tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^4)$ ma non è falso (e in questi casi era anche più conveniente) scrivere $tgx=x + 1/6 x^3 + o(x^3)$
giustissimo
"fabry1985mi":
Se pensi sia sbagliato applica la definizione di simbolo di o-piccolo e verifica che il rapporto tra la funzione e il polinomio di Mc Laurin tende a 0.
idem
"fabry1985mi":
Hai ragione che parte da 0 e non da una la somma. Il denominatore del termine cubico è 3 e il limite fa 0. Poi hai sbagliato un segno nella verifica dello sviluppo:
$sinx=x+o(x^2)$ però è vero anche $sinx=x+o(x)$
Si, questo è vero. Controllando i calcoli è lo stesso anche se per convenzione si usa dare alla funzione dell'o piccolo un esponente superiore di una unità rispetto alla derivata ennesime. Forse si fa così perchè nelle funzioni trigonometriche, come ho detto sopra, gli esponenti dei termini differiscono di 2unità anziche di una. Può anche darsi che questa sia una spiegazione stupidotta
No affatto non è stupida perchè in certe circostanze avere un'unità all'esponente in più fornisce maggiori informazioni, tuttavia nei casi che ho trattato io se avessi scritto:
$(sinxtgx - x^2)/log(1 +x^4) = ([x-1/6x^3+o(x^4)].[x+1/3x^3 +o(x^4)] -x^2)/(x^4+o(x^4)) = (x^2 +1/3x^4-1/6x^4 +o(x^5) - x^2)/(x^4+o(x^4)) = (1/6x^4 +o(x^5))/(x^4+o(x^4))~1/6x^4/x^4->1/6$ per $x->0$
l'uguaglianza asintotica sarebbe stata falsa in quanto non puoi assicurare l'assenza di un termine infinitesimo di ordine $5$ che farebbe convergere la funzione a 0 e non più a $1/6$. In questo caso non c'è quindi errore di calcolo, besì formale (è solo perchè la funzione è pari che il valore resta lo stesso)
$(sinxtgx - x^2)/log(1 +x^4) = ([x-1/6x^3+o(x^4)].[x+1/3x^3 +o(x^4)] -x^2)/(x^4+o(x^4)) = (x^2 +1/3x^4-1/6x^4 +o(x^5) - x^2)/(x^4+o(x^4)) = (1/6x^4 +o(x^5))/(x^4+o(x^4))~1/6x^4/x^4->1/6$ per $x->0$
l'uguaglianza asintotica sarebbe stata falsa in quanto non puoi assicurare l'assenza di un termine infinitesimo di ordine $5$ che farebbe convergere la funzione a 0 e non più a $1/6$. In questo caso non c'è quindi errore di calcolo, besì formale (è solo perchè la funzione è pari che il valore resta lo stesso)
per chi sia interessato alla distinzione fra ordine e grado del polinomio di Taylor:
http://www.imati.cnr.it/~brezzi/mat1/ap ... Taylor.pdf
(Brezzi, oltre che essere analista e analista numerico di fama internazionale è, incidentalmente, l'attuale presidente dell'UMI)
http://www.imati.cnr.it/~brezzi/mat1/ap ... Taylor.pdf
(Brezzi, oltre che essere analista e analista numerico di fama internazionale è, incidentalmente, l'attuale presidente dell'UMI)
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