Help, Limite invalicabile
Ciao a tutti! sono nuovo del forum:)
vi pongo il problema che mi fa fumare la testa da 5 giorni
qualcuno sa come svolgere il limite per (x,y)->(0,0) al variare del parametro (alfa) della presente funzione?
vi pongo il problema che mi fa fumare la testa da 5 giorni
qualcuno sa come svolgere il limite per (x,y)->(0,0) al variare del parametro (alfa) della presente funzione?
Risposte
Passando in coordinate polari si ha $f(rho cos theta, rho sin theta) = (|rho sin theta|^alpha cos(rho cos theta))/(sqrt(rho^2 cos^2 theta+rho^2 sin^2 theta)) = (rho^alpha|sin theta|^alpha cos(rho cos theta))/rho = rho^(alpha-1)|sin theta|^alpha cos(rho cos theta)$.
E' possibile maggiorare l'espressione con $rho^(alpha-1) |sin theta|^alpha |cos(rho cos theta)| <= rho^(alpha-1)|sin theta|^alpha$.
Se $alpha > 1$ allora $rho^(alpha-1)|sin theta|^alpha <= rho^(alpha-1)$ e risulta $lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = 0$.
Se $alpha = 1$ la funzione diventa $f(rho cos theta, rho sin theta) = |sin theta| cos(rho cos theta)$, che non ha limite per $rho -> 0$.
Se $alpha < 1$ invece dovrebbe venire $lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = +oo$.
Spero di non aver commesso errori.
E' possibile maggiorare l'espressione con $rho^(alpha-1) |sin theta|^alpha |cos(rho cos theta)| <= rho^(alpha-1)|sin theta|^alpha$.
Se $alpha > 1$ allora $rho^(alpha-1)|sin theta|^alpha <= rho^(alpha-1)$ e risulta $lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = 0$.
Se $alpha = 1$ la funzione diventa $f(rho cos theta, rho sin theta) = |sin theta| cos(rho cos theta)$, che non ha limite per $rho -> 0$.
Se $alpha < 1$ invece dovrebbe venire $lim_((x,y)->(0,0)) f(x,y) = +oo$.
Spero di non aver commesso errori.
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