HELP LIMITE

[nictosi]

sto sbattendo il muso su questo limite a meno infinito

rad(x^2+x-senx)+x
Se me lo risolvete vi bacio

[alfiotto]

è un limite un po' delicato, ma uno dei tanti nel suo genere, perchè:
c'è una radice quadrata, il limite è fatto a -inf e si presenta nella forma indeterminata +inf-inf e i due infiniti sono strettamente equivalenti oltre che dello stesso ordine (se non hai fatto gli ordini di infinito ignora quest'ultima cosa).
in questo caso, data la presenza di una radice, il primo passo è di moltiplicare numeratore e denominatore (che non c'è, quindi è uguale ad 1) per rad(x^2+x-senx)-x.
io questa operazione la chiamo "falsa razionalizzazione" e risulta quasi sempre una buona mossa in situazioni del genere.
ottieni, ricordando il limite notevole (a+b)(a-b)=a^2-b^2:
(x^2+x-sinx - x^2)/[rad(x^2+x-senx)-x] =
(x-sinx)/[rad(x^2+x-senx)-x]
a questo punto hai -inf/+inf che è già un po' meglio.
prima di impelagarsi con de l'hospital, è meglio mettere in evidenza x sopra e sotto, facendo attenzione alla radice.
infatti dentro la radice metterò in evidenza x^2, ottenendo.
rad[x^2(1+1/x-sinx/x^2)]. per portarlo fuori dalla radice ricordo che rad(x^2)=|x| e non x: questo è l'inghippo di questi esercizi!
peraltro, siccome il limite lo fai a -inf, |x| nel tuo caso è = -x.
attento, quindi, se il limite è fatto a + o - inf.
quindi, dopo questa considerazione ottieni:
[x-sinx]/[-xrad(1+1/x-sinx/x^2)-x]
ora, metti in evidenza x e hai:
[x(1-sinx/x)]/x[-rad(1+1/x-sinx/x^2)-1]
semplifica x sopra e sotto, fai il limite a -inf e avrai, siccome sinx/x, 1/x e sinx/x^2 tendono tutti a zero:
1/(-1-1)=-1/2
il risultato del limite quindi è -1/2.
forse sono stato un po' prolisso, ma spero almeno che sia tutto chiaro.
ciao

Alfi