Help limite!

[nakj]

questo limite mi sta facendo sudare nn riesco a capire come svolgerlo:

lim [(x^2+x+2)/(x^2+1)]^(2x+3)
x->inf

chi può spiegarmelo?

[MaMo2]

E' una forma indeterminata del tipo 1^inf.
Sfruttando i teoremi sui limiti possiamo scrivere (tralasciando x -> inf):
lim [(x^2 + x + 2)/(x^2 + 1)]^3*lim [(x^2 + x + 2)/(x^2 + 1)]^(2x)
Il primo limite è elementare e tende a 1 mentre, passando ai logaritmi, il secondo diventa:
lim 2x*LN [(x^2 + x + 2)/(x^2 + 1)] = 2*LN [(x^2 + x + 2)/(x^2 + 1)]/(1/x)
Questa è una forma indeterminata del tipo 0/0 perciò possiamo applicare il teorema di De L'Hopital.
Dopo calcoli un po' laboriosi si ottiene:
lim [2x^2(x^2 + 2x - 1)]/[(x^2 + 1)(x^2 + x + 2)]
Questo limite tende a 2 perciò il limite originario tende a e^2.

[Sk_Anonymous]

Il limite e' del tipo 1^(inf) e puo' essere trattato
con la regola di de L'Hopital (con qualche trasformazione).
Ti propongo ,invece,una soluzione con artificio.
Osserviamo che:
(x^2+x+2)/(x^2+1)=1+(x+1)/(x^2+1)
poniamo ora (x^2+1)/(x+1)=t
dunque:
(x^2+x+2)/(x^2+1)=1+1/t
Eleviamo il primo membro ed il secondo a (2x+3):

[(x^2+x+2)/(x^2+1)]^[(2x+3)]=(1+1/t)]^[(2x+3)]

Osserviamo ora che si puo' anche scrivere:

[(x^2+x+2)/(x^2+1)]^[(2x+3)]=[(1+1/t)]^[(t)*(2x+3)/t]

Od anche (osservando che 1/t=(x+1)/(x^2+1):
[(x^2+x+2)/(x^2+1)]^[(2x+3)]=[(1+1/t)^(t)]^[(2x+3)(x+1)/(x^2+1)]
E passando al limite per x-->inf (o cio'che e' lo stesso per t-->inf)
limite=e^2.
Un po' complicato ma con qualche originalita'.
karl.









Modificato da - karl il 31/01/2004 20:31:59

[Cavia1]

lim [(x^2+x+2)/(x^2+1)]^(2x+3)=lim [(x^2+x)/x^2]^(2x)=
x->oo x->oo

lim (1+1/x)^2x=lim [(1+1/x)^x]^2=e^2
x->oo x->oo

Spiegazione: ho trascurato gli infiniti di ordine inferiore.


Cavia

[artas1]

X Cavia

Ho apprezzato il tuo ragionamento su gli infiniti di ordine inferiore, potresti spiegarmi come si ragiona in questi termini?