Help integrale
Salve. Risolvendo un problema di Cauchy con la seguente ODE di secondo grado non omogenea: $x^(II)+14x^I+49x=e^(-7t)$, risolvendo il wronskiano della particolare, come derivate delle costanti mi sono venuti tali valori:
$c_1^I=e^(7t)/(14t)-e^(7t)/14$ e $c_2^I=-e^(7t)/(14t)+e^(7t)/14$. Però mi blocco nel risolvere i rispettivi, integrali (ovviamente parlo solo del primo termine di ciascuno, dato che il secondo è facilmente integrabile in modo immediato e dà rispettivamente $-e^(7t)/98$ e $e^(7t)/98$): ho provato sia per parti che per sostituzione, ma apro come una serie di scatole cinesi.
$c_1^I=e^(7t)/(14t)-e^(7t)/14$ e $c_2^I=-e^(7t)/(14t)+e^(7t)/14$. Però mi blocco nel risolvere i rispettivi, integrali (ovviamente parlo solo del primo termine di ciascuno, dato che il secondo è facilmente integrabile in modo immediato e dà rispettivamente $-e^(7t)/98$ e $e^(7t)/98$): ho provato sia per parti che per sostituzione, ma apro come una serie di scatole cinesi.
Risposte
Quell'integrale ha primitiva che non si può esprimere tramite funzioni elementari, c'è qualcosa che non va nei conti probabilmente!
Ciao umbe,
L'EDO proposta è la seguente:
$ x''+14x'+49x = e^(-7t) $
La soluzione dell'equazione omogenea associata, essendo l'equazione caratteristica $ \lambda^2 + 14\lambda + 49 = 0 \implies (\lambda + 7)^2 = 0 \implies \lambda_{1} = \lambda_{2} = - 7 $, è la seguente:
$x_o(t) = c_1 e^{-7 t} + c_2 t e^{-7 t} $
Per quanto riguarda poi la soluzione particolare $x_p(t) $, vista la particolare forma del termine sulla destra $e^{-7t} $, la cercherei facendo uso del metodo di somiglianza ...
L'EDO proposta è la seguente:
$ x''+14x'+49x = e^(-7t) $
La soluzione dell'equazione omogenea associata, essendo l'equazione caratteristica $ \lambda^2 + 14\lambda + 49 = 0 \implies (\lambda + 7)^2 = 0 \implies \lambda_{1} = \lambda_{2} = - 7 $, è la seguente:
$x_o(t) = c_1 e^{-7 t} + c_2 t e^{-7 t} $
Per quanto riguarda poi la soluzione particolare $x_p(t) $, vista la particolare forma del termine sulla destra $e^{-7t} $, la cercherei facendo uso del metodo di somiglianza ...
"pilloeffe":
Ciao umbe,
L'EDO proposta è la seguente:
$ x''+14x'+49x = e^(-7t) $
La soluzione dell'equazione omogenea associata, essendo l'equazione caratteristica $ \lambda^2 + 14\lambda + 49 = 0 \implies (\lambda + 7)^2 = 0 \implies \lambda_{1} = \lambda_{2} = - 7 $, è la seguente:
$x_o(t) = c_1 e^{-7 t} + c_2 t e^{-7 t} $
Per quanto riguarda poi la soluzione particolare $x_p(t) $, vista la particolare forma del termine sulla destra $e^{-7t} $, la cercherei facendo uso del metodo di somiglianza ...
Grazie per le risposte. Sì, ho sbagliato a fare i conti per il lambda: mi era venuto -14, ho avuto una svista nella risoluzione del polinomio caratteristico. Quindi il Wronskiano e la variazione delle costanti posso usarli solo se ho due lambda reali e distinti?
Occhei, ho provato con la somiglianza, ma sto inguaiato. Cioè la soluzione particolare dovrebbe essere nella forma $Ae^(-7t)$ solo che così facendo ottengo $49Ae^(-7t)-98Ae^(-7t)+49Ae^(-7t)=e^(-7t)$ che però mi dà $0=e^(-7t)$, dove ho cannato?
Cercando la soluzione particolare nella forma $ At^2 e^{-7t} $, dopo qualche conto
si trova $A = 1/2 $, per cui la soluzione particolare è $x_p(t) = 1/2 t^2 e^{-7t} $
Dunque la soluzione dell'EDO proposta è $x(t) = x_o(t) + x_p(t) = c_1 e^{-7 t} + c_2 t e^{-7 t} + 1/2 t^2 e^{-7t} $
si trova $A = 1/2 $, per cui la soluzione particolare è $x_p(t) = 1/2 t^2 e^{-7t} $
Dunque la soluzione dell'EDO proposta è $x(t) = x_o(t) + x_p(t) = c_1 e^{-7 t} + c_2 t e^{-7 t} + 1/2 t^2 e^{-7t} $
Perché hai cercato la particolare con quella forma?
"umbe":
Perché hai cercato la particolare con quella forma?
Ma li leggi i post di risposta alle tue stesse domande?
O ti limiti ad usare il forum come una chat, facendo perdere tempo a chi ti segnala metodi?
"umbe":
Perché hai cercato la particolare con quella forma?
Perché se la soluzione $Ae^{-7t}$ non funziona perché è soluzione dell'omogenea associata, occorre provare con $Ate^{-7t} $ e, se ancora non funziona, con $At^2 e^{-7t} $. Non ci giurerei, ma provando con una soluzione del tipo $(At^2 + Bt + C)e^{-7t} $ dovrebbe risultare lo stesso, con $A = 1/2 $ e $B $ e $C$ qualsiasi (quindi per comodità conviene assumere $B = C = 0 $). Prova...
Magari sono il solo a pensarla così, ma queste sono le classiche ODE a valori iniziali per cui la trasformata di Laplace è ideale.
"Bokonon":
Magari sono il solo a pensarla così, ma queste sono le classiche ODE a valori iniziali per cui la trasformata di Laplace è ideale.
Le trasformate non rientrano nel programma: non le ho studiate.
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