Help equazione differenziale
Salve a tutti,
a causa di un inutile corso di Analisi 1, mi ritrovo a non saper riconoscere le equazioni differenziali.
mi chiedevo se qualcuno potrebbe darmi qualche aiuto a capire e ad indirizzarmi.
In particolare, facendo una materia del secondo anno, mi trovo davanti un'equazione differenziali del tipo:
\(\displaystyle \frac{\partial p (x,t)}{\partial x} = \frac{p}{t1} \)
mi dice che è uguale a
\(\displaystyle p(t)=C e^{-\frac{t}{t1}} \)
dove C è un parametro che posso trovare con le condizioni iniziali.
il problema è :
che tipo di eq. diff è questa?
perché si risolve in questo modo??
ho cercato in qualche vecchio libro ma non ho trovato nulla
Qualcuno può aiutarmi????
a causa di un inutile corso di Analisi 1, mi ritrovo a non saper riconoscere le equazioni differenziali.
mi chiedevo se qualcuno potrebbe darmi qualche aiuto a capire e ad indirizzarmi.
In particolare, facendo una materia del secondo anno, mi trovo davanti un'equazione differenziali del tipo:
\(\displaystyle \frac{\partial p (x,t)}{\partial x} = \frac{p}{t1} \)
mi dice che è uguale a
\(\displaystyle p(t)=C e^{-\frac{t}{t1}} \)
dove C è un parametro che posso trovare con le condizioni iniziali.
il problema è :
che tipo di eq. diff è questa?
perché si risolve in questo modo??
ho cercato in qualche vecchio libro ma non ho trovato nulla
Qualcuno può aiutarmi????
Risposte
C'è qualcosa che non va nel tuo problema: l'equazione differenziale da te proposta è una PDE, ossia alle derivate parziali, ossia NON E' ordinaria, mentre la soluzione è chiaramente una funzione di una variabile reale, ossia deriva da un'equazione differenziale ordinaria ODE.
Quindi la tua equazione differenziale NON HA come soluzione quella da te fornita, se così fosse basta verificare e calcolare la derivata parziale delle p rispetto a x, che è zero visto che non dipende da x, contraddicendo l'equazione stessa.
Quella funzione $ p(t) $ è soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine di questo tipo:
$ (dp)/dt+p/(t1) =0 $
E si risolve separando le variabili, ossia in questo modo:
$ (dp)/dt = -p/(t1) $
$ (dp)/p = -dt/(t1) $
$ int (dp)/p = -int dt/(t1) rarr log(p/(po)) = -t/(t1)$
$ p/(po) = e^(-t/(t1)) rarr p(t)=Po*e^(-t/(t1)) $
Dove ho già specificato che la costante arbitraria C dipende direttamente dalla $po=p(0)$.
La tua equazione differenziale è alle derivate parziali poichè la p è una funzione di due variabili $p(x,t)$ per cui è più difficile e la teoria che c'è dietro è molto più complicata e (credo?) viene ricondotta ad un problema agli autovalori. Tuttavia è chiaro che se la derivata parziale della p rispetto alla variabile x è proporzionale alla p stessa stiamo parlando di un esponenziale in x, però tutto il resto (in particolare come è fatta la p rispetto t) è completamente incognita.
Quindi la tua equazione differenziale NON HA come soluzione quella da te fornita, se così fosse basta verificare e calcolare la derivata parziale delle p rispetto a x, che è zero visto che non dipende da x, contraddicendo l'equazione stessa.
Quella funzione $ p(t) $ è soluzione di una equazione differenziale ordinaria del primo ordine di questo tipo:
$ (dp)/dt+p/(t1) =0 $
E si risolve separando le variabili, ossia in questo modo:
$ (dp)/dt = -p/(t1) $
$ (dp)/p = -dt/(t1) $
$ int (dp)/p = -int dt/(t1) rarr log(p/(po)) = -t/(t1)$
$ p/(po) = e^(-t/(t1)) rarr p(t)=Po*e^(-t/(t1)) $
Dove ho già specificato che la costante arbitraria C dipende direttamente dalla $po=p(0)$.
La tua equazione differenziale è alle derivate parziali poichè la p è una funzione di due variabili $p(x,t)$ per cui è più difficile e la teoria che c'è dietro è molto più complicata e (credo?) viene ricondotta ad un problema agli autovalori. Tuttavia è chiaro che se la derivata parziale della p rispetto alla variabile x è proporzionale alla p stessa stiamo parlando di un esponenziale in x, però tutto il resto (in particolare come è fatta la p rispetto t) è completamente incognita.
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