Help, equazione di Poisson
Salve a tutti.
Come anticipato in oggetto, data l'equazione di Poisson ho la necessità di dimostrare l' esistenza e unicità della soluzione "u" di tale equazione nel caso di funzione "F(u)" strettamente crescente nel suo dominio. Ho provato a rifarmi a Cauchy (anche per questo ho postato tale topic in questa sezione) ma non ne sono uscito fuori, quindi se qualcuno sapesse almeno indirizzarmi ne sarei lieto.
Un saluto e grazie in anticipo.
Come anticipato in oggetto, data l'equazione di Poisson ho la necessità di dimostrare l' esistenza e unicità della soluzione "u" di tale equazione nel caso di funzione "F(u)" strettamente crescente nel suo dominio. Ho provato a rifarmi a Cauchy (anche per questo ho postato tale topic in questa sezione) ma non ne sono uscito fuori, quindi se qualcuno sapesse almeno indirizzarmi ne sarei lieto.
Un saluto e grazie in anticipo.
Risposte
Per equazione di Poisson credo tu intenda l'equazione di Poisson nonlineare:
[tex]$\begin{cases} -\Delta u=f(u) &\text{, in $\Omega$} \\ u=0 &\text{, su $\partial \Omega$} \end{cases}$[/tex].
Per l'esistenza di soluzioni deboli, se [tex]$f$[/tex] è abbastanza buona, si usa il Teorema del passo di montagna: per una dimostrazione puoi vedere Evans, Partial Differential Equations - second edition, §8.5.2.
D'altra parte, non tutte le [tex]$f$[/tex] sono buone, ossia non sempre quel problema ha soluzione: ciò si dimostra usando, ad esempio, l'identità di Pohozaev (come in Evans, opera citata, §9.4.2).
Un altro metodo per mostrare l'esistenza è quello delle sotto/soprasoluzioni (diciamo un analogo del classico metodo di Perron per l'equazione di Laplace), che puoi trovare sempre in Evans, opera citata, §9.3.
Per l'unicità la questione mi pare più dura...
[tex]$\begin{cases} -\Delta u=f(u) &\text{, in $\Omega$} \\ u=0 &\text{, su $\partial \Omega$} \end{cases}$[/tex].
Per l'esistenza di soluzioni deboli, se [tex]$f$[/tex] è abbastanza buona, si usa il Teorema del passo di montagna: per una dimostrazione puoi vedere Evans, Partial Differential Equations - second edition, §8.5.2.
D'altra parte, non tutte le [tex]$f$[/tex] sono buone, ossia non sempre quel problema ha soluzione: ciò si dimostra usando, ad esempio, l'identità di Pohozaev (come in Evans, opera citata, §9.4.2).
Un altro metodo per mostrare l'esistenza è quello delle sotto/soprasoluzioni (diciamo un analogo del classico metodo di Perron per l'equazione di Laplace), che puoi trovare sempre in Evans, opera citata, §9.3.
Per l'unicità la questione mi pare più dura...
"gugo82":
Per equazione di Poisson credo tu intenda l'equazione di Poisson nonlineare:
[tex]$\begin{cases} -\Delta u=f(u) &\text{, in $\Omega$} \\ u=0 &\text{, su $\partial \Omega$} \end{cases}$[/tex].
Per l'esistenza, se [tex]$f$[/tex] è abbastanza buona, si usa il Teorema del passo di montagna: per una dimostrazione puoi vedere Evans, Partial Differential Equations - second edition, §8.5.2.
Per l'unicità la questione mi pare più dura...
Scusa, ma ho postato un quesito senza esser stato molto preciso...l'equazione di poisson a cui mi riferisco ha il Laplaciano di u = f(u) (in una dimensione sarebbe derivata seconda di "u" = f(u)), dove è la f(u), nel mio caso, ad essere non lineare.
Come capirai non so scriverlo più chiaramente...
E scusa, ma io che ho scritto? 
Ti assicuro che quel delta tutto mi ricorda tranne che un Laplaciano 
allora vado subito a vedere e grazie del consiglio
allora vado subito a vedere e grazie del consiglio
"SageAndres":
Ti assicuro che quel delta tutto mi ricorda tranne che un Laplaciano
Veramente [tex]$\Delta$[/tex] è il simbolo più usato sui libri di PDE (ma è usato anche su WIKI o su EoM); il "nabla quadro" [tex]$\nabla^2$[/tex] non è più tanto comune (forse solo nelle notazioni fisico/ingegneristiche, dove [tex]$\Delta$[/tex] ha altro significato).
Ho letto e capito la dimostrazione...l' unico dubbio è che si rifà alla forma debole del problema di Poisson, quindi dimostra l'esistenza della soluzione debole, a me serviva per il caso generale. Sono andato quindi a controllare meglio cosa mi chiedeva il prof, e ho visto che il problema di Poisson di cui si vuole dimostrare l'unicità della soluzione, è si non lineare, ma la funzione è STRETTAMENTE CRESCENTE.
Credo che con questa condizione si semplifichino notevolemente le cose, e che non ci sia manco bisogno di ricorrere alla forma debole.
Ho provato nella maniere più ovvia possibile a partire dall'assurdo che ce ne possano essere due di soluzioni a questo problema.
Quindi ho scritto i due problemi, li ho sottratti tra loro e ho rscritto la differenza della funzione non lineare valutata nelle due soluzione sfruttando taylor al primo ordine. Quindi essendo la funzione strettamente crescente, la derivate che ne è uscita è sempre positiva. Da qui mi blocco, non riesco a trovare una condizione che vada contro all'ipotesi delle due soluzioni distinte.
Quindi per concludere vi chiedo nuovamente aiuto
Credo che con questa condizione si semplifichino notevolemente le cose, e che non ci sia manco bisogno di ricorrere alla forma debole.
Ho provato nella maniere più ovvia possibile a partire dall'assurdo che ce ne possano essere due di soluzioni a questo problema.
Quindi ho scritto i due problemi, li ho sottratti tra loro e ho rscritto la differenza della funzione non lineare valutata nelle due soluzione sfruttando taylor al primo ordine. Quindi essendo la funzione strettamente crescente, la derivate che ne è uscita è sempre positiva. Da qui mi blocco, non riesco a trovare una condizione che vada contro all'ipotesi delle due soluzioni distinte.
Quindi per concludere vi chiedo nuovamente aiuto
"SageAndres":
Ho letto e capito la dimostrazione...l' unico dubbio è che si rifà alla forma debole del problema di Poisson, quindi dimostra l'esistenza della soluzione debole, a me serviva per il caso generale.
Forse per il caso meno generale... Dato che, a quanto capisco, vuoi fare tutto in ipotesi di regolarità su [tex]$u$[/tex].
"SageAndres":
Sono andato quindi a controllare meglio cosa mi chiedeva il prof, e ho visto che il problema di Poisson di cui si vuole dimostrare l'unicità della soluzione, è si non lineare, ma la funzione è STRETTAMENTE CRESCENTE.
Ok, la funzione [tex]$f(u)$[/tex] è strettamente crescente...
Ma che la soluzione sia unica, in generale, non lo puoi proprio dire.
Per un esempio semplice, pensa al problema degli autovalori per il Laplaciano nella palla:
[tex]$\begin{cases} -\Delta u=\lambda u &\text{, in $B(o;1)$} \\ u=0 &\text{, su $\partial B(o;1)$}\end{cases}$[/tex];
come sai, ogni autovalore è positivo e, fissato un autovalore, le autofunzioni sono tante.
Però, cerca di chiarire meglio il problema: insomma, scrivi per bene tutte le ipotesi, cerca di inserire qualche formula e qualche passaggio, per favore.
ecco il problema con formule, sperando che venga scritto per bene
$\Delta u=f(u)$
$\u(0)=0 , u(l)=1$
nota bene, ci sono solo u(0) e u(1) perchè il problema è in una dimensione, ma la dimostrazione dovrebbe valere sempre
l'unica ipotesi è che "f" funzione non lineare sia strettamente crescente
...
$\Delta u=f(u)$
$\u(0)=0 , u(l)=1$
nota bene, ci sono solo u(0) e u(1) perchè il problema è in una dimensione, ma la dimostrazione dovrebbe valere sempre
l'unica ipotesi è che "f" funzione non lineare sia strettamente crescente
...
Oh, ecco... Adesso mi pare di aver afferrato la cosa.
C'è un problema di segno: io davanti al Laplaciano ci metto sempre il [tex]$-$[/tex] perchè così si trova facilmente la formulazione debole, mentre tu ci metti il più; per capirci, è preferibile riscrivere l'equazione così [tex]$-\Delta u+f(u)=0$[/tex].
Allora il fatto che [tex]$f(u)$[/tex] sia strettamente crescente ti garantisce che il pezzo [tex]F(u):=\int_0^u f(s)\ \text{d} s[/tex] che viene fuori nella formulazione debole è strettamente convesso in [tex]$u$[/tex] (perchè è derivabile [tex]$F(u)$[/tex] è derivabile ed ha la derivata prima strettamente crescente); l'altro pezzo che viene fuori è simile alla norma del gradiente al quadrato, ossia a [tex]$\lVert \text{D} u\rVert_{L^2}^2$[/tex], quindi è pure strettamente convessa; quindi l'unicità della soluzione debole la dovresti poter recuperare sfruttando la stretta convessità del funzionale in forma debole.
C'è un problema di segno: io davanti al Laplaciano ci metto sempre il [tex]$-$[/tex] perchè così si trova facilmente la formulazione debole, mentre tu ci metti il più; per capirci, è preferibile riscrivere l'equazione così [tex]$-\Delta u+f(u)=0$[/tex].
Allora il fatto che [tex]$f(u)$[/tex] sia strettamente crescente ti garantisce che il pezzo [tex]F(u):=\int_0^u f(s)\ \text{d} s[/tex] che viene fuori nella formulazione debole è strettamente convesso in [tex]$u$[/tex] (perchè è derivabile [tex]$F(u)$[/tex] è derivabile ed ha la derivata prima strettamente crescente); l'altro pezzo che viene fuori è simile alla norma del gradiente al quadrato, ossia a [tex]$\lVert \text{D} u\rVert_{L^2}^2$[/tex], quindi è pure strettamente convessa; quindi l'unicità della soluzione debole la dovresti poter recuperare sfruttando la stretta convessità del funzionale in forma debole.
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