Help disuguaglianza

[salemgold]

Ciao a tutti!
ho un probemino da risolvere:
come si dimostra che (H tra 0 e 1 e $a,b>=0$)

$(a+b)^{2H}>a^{2H}+b^{2H}$

solo se $H>1/2$???

il primo membro l'ho scritto come

$(a^{2}+b^{2}+2ab)^{H}$

ma non so come cavarmela...

[gugo82]

La parola d'ordine è omogeneità.

Innanzitutto conviene eliminare una delle due variabili per omogeneità: mettendo in evidenza $a$ a destra ed $a^(2H)$ a sinistra si trova:

$a^(2H) [1+(b/a)]^(2H) > a^(2H)[1+(b/a)^(2H)] <=> [1+(b/a)]^(2H) > [1+(b/a)^(2H)]$

quindi puoi porre $x=b/a$ e studiare in $x>0$ la relazione $(1+x)^(2H) > 1+x^(2H)$, che equivale a:

(*) $\quad (1+x)^(2H)-x^(2H)-1>0$.

Visto che la funzione $f(x):=(1+x)^(2H)-x^(2H)-1$ è nulla in $0$, ti basterebbe sapere che essa è strettamente crescente in $[0,+oo[$ per concludere che vale la (*) per $x\in ]0,+oo[$ e, quindi, che la tua disuguaglianza vale per ogni $a,b\in ]0,+oo[$).
La funzione $f(x)$ è derivabile per $x>0$, cosicché per studiare la monotonia basta derivare:

$f'(x)=2H(1+x)^(2H-1)-2Hx^(2H-1)=2Hx^(2H-1)[((1+x)/x)^(2H-1)-1]=2Hx^(2H-1)[(1+1/x)^(2H-1)-1]$

e studiare il segno di $f'(x)$; si ha:

$f'(x)>=0 <=> (1+1/x)^(2H-1)>=1$

e bisogna distinguere i casi $2H-1>0$ e $2H-1<=0$...

Ora penso che puoi continuare da solo.


P.S.: Con i miei poteri da mod ho aggiustato il primo post ed eliminato il secondo.

[salemgold]

poichè $(1+1/x)>1$ se elevo a un numero positivo ottengo un numero maggiore di 1, e questo con $H>1/2$, altrimenti ottengo un numero minore di 1, con $H<1/2$.
ma si può spiegare così o si può formalizzare meglio?

Grazie! sia per il grande aiuto (ho imparato che queste cose si possono risolvere con una funzione... che scarso, non ci avevo pensato!), sia per il pasticcio col post : )