[HELP] Dire se un integrale esiste finito
salve ragazzi..mi servirebbe un aiuto..
se ho un esercizio del tipo:
Dire se il seguente integrale esiste finito al variare del parametro $alpha>=0$:
$\int_0^infty(x^2+x)/(x^4+x^2+1)e^(-alphax^2)dx$
non ho capito come procedere nè tantomeno lo scopo dell'esercizio..xD
se magari potete mettermi i vari passaggi piuttosto che il risultato finale vi ringrazio *_*
Grazie anticipatamente a chiunque voglia aiutarmi ^^
se ho un esercizio del tipo:
Dire se il seguente integrale esiste finito al variare del parametro $alpha>=0$:
$\int_0^infty(x^2+x)/(x^4+x^2+1)e^(-alphax^2)dx$
non ho capito come procedere nè tantomeno lo scopo dell'esercizio..xD
se magari potete mettermi i vari passaggi piuttosto che il risultato finale vi ringrazio *_*
Grazie anticipatamente a chiunque voglia aiutarmi ^^
Risposte
spero tu abbia capito che si tratta di un integrale improprio...
cambiando un po' le parole l'esercizio ti chiede di stabilire se esistono dei valori di $alpha>0$ per i quali l'integrale improprio converge
cambiando un po' le parole l'esercizio ti chiede di stabilire se esistono dei valori di $alpha>0$ per i quali l'integrale improprio converge
si fino a lì c'ero arrivato ^^
ma in questi genere di esercizi come bisogna procedere? cioè per vedere se diverge devo prima calcolarlo e poi valutare i vari casi di $alpha$?
ma in questi genere di esercizi come bisogna procedere? cioè per vedere se diverge devo prima calcolarlo e poi valutare i vari casi di $alpha$?
no, devi controllari per quali valori all' interno dell' intervallo di integrazione, la funzione integranda parte a $+\infty$, o qualche ermine si annulla. Qui vedi che il denominatore non si annulla mai, quindi l' unico caso interessante è controllare per $x->+\infty$
Per verificare l'esistenza dell'integrale è necessario valutare l'ordine degli infiniti e degli infinitesimi nei punti appartenenti all'intervallo di integrazione. Il denominatore innanzitutto non ha zeri reali. Il problema lo trovo in +inf, ma all'infinito è infinitesima di grado esponenziale (se a>0) oppure è infinitesima del secondo ordine (se a=0). Dunque l'integrale esiste finito in ogni caso se a>=0.
non ho capito bene...se ho un esercizio del genere (lasciamo stare l'esempio un attimo) devo quindi studiare la funzione integranda?in che modo? se poteste spiegarlo in maniera semplice ve ne sarei grato
"Sutekh":
non ho capito bene...se ho un esercizio del genere (lasciamo stare l'esempio un attimo) devo quindi studiare la funzione integranda?in che modo? se poteste spiegarlo in maniera semplice ve ne sarei grato
meglio se seguiamo l' esempio per adesso..
devi controllare l' ordine di infinitesimo della funzione integranda, ok ?. ma questo devi farlo nei punti critici dell' intevallo integrazione. Ora, vedi che non ci sono punti critici, quindi passi subito a controllare per $x-> +\infty$ ora vedi che per tale limite, il polinomio può essere semplificato e si ottiene $\int_0^(+\infty)1/x^2e^(-ax^2)dx$ a questo punto sai che l' esponenziale ha grado di infinito e infinitesimo, dipende dai casi, sempre maggiore a qualsiasi potenza di x. In questo caso, essendoci un meno nell' esponente dell' esponenziale sarà un infinitesimo di ordine sempre maggiore a $x^2$ (quest' ultimo $x^2$ non c'è entra nulla con il denominatore). Quindi, se $a = 0$ hai che l' integrale converge perchè e = 1, ma al den. hai un infinito di ordine 2, se invece $a > 0$ hai che l' esponenziale al numeratore ti garantisce sempre zero.
Di conseguenza la soluzione è $a >= 0$, è una spiegazione molto terra terra ma più semplice di così è impossibile..
spero di essere stato chiaro.. 
quindi se ho capito bene devo prima vedere in pratica il campo d'esistenza della funzione integranda? se trovo che per certi valori non esiste la funzione ne calcolo il limite? e poi devo calcolare il limite tendente a +infinito?
up
se vi va mi risolvete questo? cosi capisco meglio...se potete inserite tutti i ragionamenti $\int_0^1(x^alpha)/sqrt(x^2+2x+5)dx$
se vi va mi risolvete questo? cosi capisco meglio...se potete inserite tutti i ragionamenti $\int_0^1(x^alpha)/sqrt(x^2+2x+5)dx$
ho provato a risolverlo ma non riesco ad andare molto avanti..
allora in questo integrale non abbiamo punti critici quindi dobbiamo fare il limite tendente a + e - infinito.
$\lim_{x \to \+infty}\int_0^1x^alpha/sqrt(x^2+2x+5)dx$ Si ha che per $alpha=0 -> \lim_{x \to \+infty}\int_0^1 1/sqrt(x^2+2x+5)dx=0$ dunque converge perchè $alpha<1$
questa prima parte è corretta?
allora in questo integrale non abbiamo punti critici quindi dobbiamo fare il limite tendente a + e - infinito.
$\lim_{x \to \+infty}\int_0^1x^alpha/sqrt(x^2+2x+5)dx$ Si ha che per $alpha=0 -> \lim_{x \to \+infty}\int_0^1 1/sqrt(x^2+2x+5)dx=0$ dunque converge perchè $alpha<1$
questa prima parte è corretta?
Ne ho provato a farne un altro...
$int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$
Come punti critici trovo $x=-2$ e $x=-3$
In questo caso visto che gli estremi variano da $1$ a $+infty$ devo scartare quelle soluzioni negative?
passando al limite tendente ad infinito (per la stessa ragione di prima scarto il limite a meno infinito?) ho:
$lim_(x->infty)int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$
Che per: $alpha=0 -> lim_(x->infty)int_1^infty(2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx=0$ (esiste il limite finito dunque converge)
$alpha>0 -> lim_(x->infty)int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$ e in questo caso devo considerare solo l'esponenziale visto che sarebbe nella forma $lim_(x->infty)int_1^inftyx/e^(alphax)dx$? e dunque è sempre finito il limite in questo caso quindi posso concludere che per $alpha>=0$ l'integrale converge...
quanti errori ho fatto?xD
$int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$
Come punti critici trovo $x=-2$ e $x=-3$
In questo caso visto che gli estremi variano da $1$ a $+infty$ devo scartare quelle soluzioni negative?
passando al limite tendente ad infinito (per la stessa ragione di prima scarto il limite a meno infinito?) ho:
$lim_(x->infty)int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$
Che per: $alpha=0 -> lim_(x->infty)int_1^infty(2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx=0$ (esiste il limite finito dunque converge)
$alpha>0 -> lim_(x->infty)int_1^inftye^-alphax(alphax^5+2x^2+x+1)/((x^2+3x)(x^2+4x+4))dx$ e in questo caso devo considerare solo l'esponenziale visto che sarebbe nella forma $lim_(x->infty)int_1^inftyx/e^(alphax)dx$? e dunque è sempre finito il limite in questo caso quindi posso concludere che per $alpha>=0$ l'integrale converge...
quanti errori ho fatto?xD
$\int_0^infty ((x+2)log^alpha(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9)) dx$
nessun punto critico
$lim_(x->+infty)\int_0^infty ((x+2)log^alpha(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9)) dx$
nel caso $alpha=0 -> lim_(x->+infty)\int_0^infty (x+2)/((x+4)^3(x^2+9)) -> lim_(x->+infty)1/x^4=0$ però il grado di infinitesimo è maggiore di 1 e dunque diverge
questa prima parte è giusta?
nessun punto critico
$lim_(x->+infty)\int_0^infty ((x+2)log^alpha(1+x^2))/((x+4)^3(x^2+9)) dx$
nel caso $alpha=0 -> lim_(x->+infty)\int_0^infty (x+2)/((x+4)^3(x^2+9)) -> lim_(x->+infty)1/x^4=0$ però il grado di infinitesimo è maggiore di 1 e dunque diverge
questa prima parte è giusta?
Come ti ho già scritto in un altro post, la funzione $\frac{1}{x^{\alpha}}$ è integrabile su $[1,+\infty)$ per $\alpha > 1$.
sisi ok...tutto sommato ho finalmente capito questo argomento anche se dovrò approfondirlo un pò..grazie mille per l'aiuto ^^
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