Help Derivata Funzione Inversa
Salve a tutti,
sto studiando le derivate delle funzioni inverse ma delle cose non tornano.
Dal teorema (della derivata della funzione inversa) ho capito che la derivata della funzione reciproca è uguale al reciproco delle derivata delle funzione di partenza,ma a quanto pare non basta,nel senso che non mi trovo con i risultati del libro.Perchè?Immagino sia perchè c'è una sorta di incompatibilità di scrittura di variabili,come se mancasse qualcosa ma non so come concludere :S.
Per esempio:
Data una funzione f(x) = $x^3$ calcolare la derivata della funzione inversa (sottinteso che rispetta tutte le regole per la il teorema della derivata inversa).A questo punto io mi trovo il reciproco della derivata di f(x) cioè $1/(3x^2)$.Io comunque in questo caso avrei prima esplicitato per x e poi avrei fatto la derivata della funzione inversa normalmente.La prof però ha detto che spesso è difficile esplicitare in x cioè trovare la x in funzione della y e per questo risulta utile il teorema...qui non mi torna più niente perchè dai miei appunti la prof sostituisce a $3x^2$ questa qua--> $3root(3)y^2$ e quindi al posto della x mette $root(3)y$..ora dico io,ma per fare questo scambio non bisogna passare per forza per l'esplicitazione della y in funzione della x??Che differenza c'è rispetto alla normale esplicitazione e poi derivazione?In poche parole che utilità ha questo teorema :O???C'è bisogno poi di fare qualche scambio di variabili?!?Come si svolge l'esercizio sopra riportato utilizzando il teorema della derivata della funzione inversa?
Un ringrazio in anticipo per le risposte e spero di aver postato la domanda nella sezione adeguata (mi sono concentrato di più a scrivere per bene le formule
)
Francesco
sto studiando le derivate delle funzioni inverse ma delle cose non tornano.
Dal teorema (della derivata della funzione inversa) ho capito che la derivata della funzione reciproca è uguale al reciproco delle derivata delle funzione di partenza,ma a quanto pare non basta,nel senso che non mi trovo con i risultati del libro.Perchè?Immagino sia perchè c'è una sorta di incompatibilità di scrittura di variabili,come se mancasse qualcosa ma non so come concludere :S.
Per esempio:
Data una funzione f(x) = $x^3$ calcolare la derivata della funzione inversa (sottinteso che rispetta tutte le regole per la il teorema della derivata inversa).A questo punto io mi trovo il reciproco della derivata di f(x) cioè $1/(3x^2)$.Io comunque in questo caso avrei prima esplicitato per x e poi avrei fatto la derivata della funzione inversa normalmente.La prof però ha detto che spesso è difficile esplicitare in x cioè trovare la x in funzione della y e per questo risulta utile il teorema...qui non mi torna più niente perchè dai miei appunti la prof sostituisce a $3x^2$ questa qua--> $3root(3)y^2$ e quindi al posto della x mette $root(3)y$..ora dico io,ma per fare questo scambio non bisogna passare per forza per l'esplicitazione della y in funzione della x??Che differenza c'è rispetto alla normale esplicitazione e poi derivazione?In poche parole che utilità ha questo teorema :O???C'è bisogno poi di fare qualche scambio di variabili?!?Come si svolge l'esercizio sopra riportato utilizzando il teorema della derivata della funzione inversa?
Un ringrazio in anticipo per le risposte e spero di aver postato la domanda nella sezione adeguata (mi sono concentrato di più a scrivere per bene le formule
)Francesco
Risposte
Benvenuto Francesco,
nel tuo esempio la funzione inversa è [tex]$y=f(x)=x^3\iff x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$[/tex] da cui [tex]$\frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}\Bigg|_{x=\sqrt[3]{y}}=\frac{1}{3x^2}\Bigg|_{x=\sqrt[3]{y}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2}$[/tex].
Spiegartelo a parole mi è difficoltoso, sicuramente ti sono rimasti dei dubbi per cui domanda pure!
nel tuo esempio la funzione inversa è [tex]$y=f(x)=x^3\iff x=f^{-1}(y)=\sqrt[3]{y}$[/tex] da cui [tex]$\frac{df^{-1}(y)}{dy}=\frac{1}{\frac{df(x)}{dx}}\Bigg|_{x=\sqrt[3]{y}}=\frac{1}{3x^2}\Bigg|_{x=\sqrt[3]{y}}=\frac{1}{3(\sqrt[3]{y})^2}$[/tex].
Spiegartelo a parole mi è difficoltoso, sicuramente ti sono rimasti dei dubbi per cui domanda pure!
immagino che dx e dy siano i differenziali che non ho ancora fatto...cmq se esplicito in x e poi faccio la derivata le cose tornano anche a me..il problema è trovarsi la derivata della funzione inversa con il teorema (senza esplicitare in x e fare i calcoli normalmente) visto che in alcuni casi la funzione è complessa e non si può ricavare la x!!Questo è il mio problema...non so se mi sono spiegato bene :S
Non c'entrano i differenziali qui, è solo una scrittura della derivata; si dimostra che non è in contrasto coi differenziali se proprio lo si vuole sottolineare.
Quello che ti ho esposto è il procedimento corretto nel caso in cui tu conosca l'espressione implicita della funzione inversa; per quanto riguarda il calcolo della derivata della funzione inversa non esplicitabile di una funzione vi è il teorema del Dini che aiuta!
Quello che ti ho esposto è il procedimento corretto nel caso in cui tu conosca l'espressione implicita della funzione inversa; per quanto riguarda il calcolo della derivata della funzione inversa non esplicitabile di una funzione vi è il teorema del Dini che aiuta!
mmmmmm ok ma senza esplicitare o implicitare la x (senza mettere la x in funzione della y procedendo con calcoli normali) e senza questo teorema Dini c'è un modo per trovarsi la derivata della funzione inversa :O??
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