Guardate questa successione di funzioni

[dan89-votailprof]

$f_n(x)=n*sin(x/n) " " x in RR

Il testo mi chiede di studiarne la convergenza puntuale e verificare che la convergenza non è uniforme in $RR$; determinare poi sottoinsiemi di $RR$ in cui la convergenza è uniforme.

Ho proceduto così:

Funzione limite, convergenza puntuale

$\lim_{n \to \infty} n*sin(x/n)=\lim_{n \to \infty} [sin(x/n)/(x/n)]*x/n*n=x$

Quindi $f_n(x)\rightarrowf(x)=x " " AA x in RR$


Convergenza uniforme
$"sup" |f_n(x)-f(x)|="sup" |n*sin(x/n)-x|=+infty

Cioè la successione di funzioni non converge uniformemente in $RR$. Ma non riesco a capire in quali sottoinsiemi di $RR$ la $f_n(x)$ potrebbe convergere uniformemente...

[ficus2002]

"Cod":Ma non riesco a capire in quali sottoinsiemi di $RR$ la $f_n(x)$ potrebbe convergere uniformemente...

Si ha convergenza uniforme, per esempio, sui sottoinsiemi limitati di $RR$ discosti dallo $0$.

[dan89-votailprof]

Perché? Il problema non mi sembra lo zero 0, il problema è che non essendo l'insieme $RR$ limitato, il sup di quella funzione va tranquillamente a $+infty$.

Invece devo trovare un sup che non solo sia finito, ma deve anche tendere a zero per $n rightarrow infty$

[ficus2002]

"Cod":Perché? Il problema non mi sembra lo zero 0

Hai ragione, lo 0 non è un problema! quindi sui limitati c'è convergenza uniforme: se $|x| $|n\sin(x/n)-x|0$ per $n->oo$
uniformemente rispetto a $x$.

[dan89-votailprof]

Non ho capito cos'hai fatto XD

Edit: ora ho capito. E poi si può passare ai sup tranquillamente?

riedit: meglio se mi spiegi bene come hai ragionato e dove sei arrivato XD

Cioè per quella disequazione siamo daccordo. E poi?

[ficus2002]

"Cod":riedit: meglio se mi spiegi bene come hai ragionato e dove sei arrivato XD
Cioè per quella disequazione siamo daccordo. E poi?

Fissato $epsilon>0$ esiste $delta>0$ tale che
$|\sin(x/n)/{x/n}-1| Posto $N:=M/delta$ si ha
$|\sin(x/n)/{x/n}-1|N$ per ogni $x$ tale che $|x|
Quindi per ogni $epsilon$ esiste $N$ (dipendente solo da $epsilon$) tale che
$|\sin(x/n)/{x/n}-1|N$ per ogni $x$ tale che $|x|

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