Gruppo di galois

[92kiaretta]

Ciao a tutti! Qualcuno potrebbe spiegarmi come calcolare il gruppo di galois di un polinomio? Io so trovare il campo di spezzamento e il grado dell'estensione ma dopo non so andare avanti: in particolare se il grado mi viene 4 per esempio come faccio a capire se il gruppo di galois è Il gruppo ciclico Z4 o il gruppo di Klein?

[ciampax]

Oddio, adesso mi cogli impreparato: non ho a che fare con i gruppi di Galois da una vita. Guarda, appena ho tempo mi do una lettura veloce e ti rispondo.

[92kiaretta]

Ok ti ringrazio!!

[ciampax]

Allora, ho dato una guardata ma effettivamente sono un po' arrugginito. Duqneu, i passi sono sostanzialmente questi:

1) determinare il campo di spezzamento K di un polinomio a coefficienti in un campo F, scrivendo K=F(a) (a è la radice del polinomio non presente in F)

2) determinare le trasformazioni di K in K in modo che gli elementi di F vengano conservati. Questo implica che le trasformazioni utili sono tutte e sole quelle che agiscono su a e lo trasformano in un elemento presente solo su K.

Per esempio, se il polinomio fosse

[math]x^2-2[/math]

su F=Q, allora

[math]a=\sqrt{2}[/math]

e K=Q(a). Ora, le applicazioni che trasformano a e che vanno bene sono le seguenti:

[math]\sigma_1:\ a\to a,\qquad [math]\sigma_2:\ a\to -a[/math]

per cui il gruppo ha due elementi (ed è ciclico).


Per la tua seconda domanda: pensa a questo polinomio

[math](x^2-2)(x^2-3)(x^2-5)(x^2-7)[/math]

su Q, e a quest'altro

[math]x^4+2[/math]

su R.

Che differenze riscontri? Quali sono i gradi delle estensioni? In quale dei due casi le trasformazioni che ottieni danno luogo ad un gruppo ciclico?

[Anthrax606]

Prova con questo: http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete2/algebra3pdf/lezione13.pdf potresti trovarlo utile!!
Ciaoo! :)

[92kiaretta]

Ok credo di aver capito! Per quanto riguarda la seconda domanda: la differenza tra i due e' che nel primo il campo di spezzamento e' tra i radicali mentre nel secondo caso tra i complessi, infatti il camo di spezzamento e' radice quarta di 2i e se ho calcolato bene il grado e' 4 e il gruppo di Galois in questo caso e' Klein giusto?

[Anthrax606]

sisi

Aggiunto 1 minuto più tardi:

;)

Aggiunto 50 secondi più tardi:

ma in cosa ti stai laureando??

[92kiaretta]

In matematica

[Anthrax606]

facoltà di scienze matematiche?

[ciampax]

# 92kiaretta :
Ok credo di aver capito! Per quanto riguarda la seconda domanda: la differenza tra i due e' che nel primo il campo di spezzamento e' tra i radicali mentre nel secondo caso tra i complessi, infatti il camo di spezzamento e' radice quarta di 2i e se ho calcolato bene il grado e' 4 e il gruppo di Galois in questo caso e' Klein giusto?

Esatto: la cosa fondamentale è capire quando il gruppo risulta ciclico (ed il più delle volte è quando puoi associarlo ad una trasformazione del tipo

[math]\omega^k\alpha[/math]

dove

[math]\alpha[/math]

è l'elemento dell'estensione e

[math]\omega[/math]

una radice ennesima dell'unità, con k esponente qualsiasi tra 0 e n-1) o quando ciclico non lo è.

Aggiunto 26 secondi più tardi:

P.S.: e visto che ci siamo, dove studi? Giusto per sapere.

[92kiaretta]

All'università tor vergata di Roma

[Anthrax606]

ahh okay ;)
Ciaooo :)