Gruppi agenti su L^1
Come mio primo post dell'era TeX vorrei porre all'attenzione del forum una curiosità.
Sappiamo che una serie reale assolutamente convergente è stabile per riordinamenti, ovvero:
[tex](\sum_{n=1} ^ \infty |x_n| < \infty ) \Rightarrow (\forall \sigma \in \text{Sym}(\mathbb{N}),\ \sum_{n=1}^\infty x_n=\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} \in \mathbb{R})[/tex] (*)
dove $"Sym"(NN)$ è il gruppo delle permutazioni di $NN$. Quindi, detto $l^1$ lo spazio vettoriale delle serie assolutamente convergenti, possiamo interpretare quanto sopra come: ogni elemento di $l^1$ è invariante per l'azione del gruppo $"Sym"(NN)$ (**).
Mi chiedevo quale fosse l'analogo $L^1$ di questo risultato.
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(*) In realtà vale il "se e solo se".
(**) L'azione di $"Sym"(NN)$ su $l^1$ è data, ovviamente, da $\sigma * (x_n) =(x_{\sigma(n)})$.
Sappiamo che una serie reale assolutamente convergente è stabile per riordinamenti, ovvero:
[tex](\sum_{n=1} ^ \infty |x_n| < \infty ) \Rightarrow (\forall \sigma \in \text{Sym}(\mathbb{N}),\ \sum_{n=1}^\infty x_n=\sum_{n=1}^\infty x_{\sigma(n)} \in \mathbb{R})[/tex] (*)
dove $"Sym"(NN)$ è il gruppo delle permutazioni di $NN$. Quindi, detto $l^1$ lo spazio vettoriale delle serie assolutamente convergenti, possiamo interpretare quanto sopra come: ogni elemento di $l^1$ è invariante per l'azione del gruppo $"Sym"(NN)$ (**).
Mi chiedevo quale fosse l'analogo $L^1$ di questo risultato.
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(*) In realtà vale il "se e solo se".
(**) L'azione di $"Sym"(NN)$ su $l^1$ è data, ovviamente, da $\sigma * (x_n) =(x_{\sigma(n)})$.
Risposte
Ciao, hai poi trovato una risposta?
Io ci ho pensato un pò, ma non mi è venuto in mente un granché... Solo idee stupide tipo questa: sia [tex]\displaystyle \Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} \Omega_n[/tex], con [tex]\Omega_n \cap \Omega_m=\emptyset[/tex], [tex]\forall m \neq n[/tex]. Allora(??):
[tex]\displaystyle \left(\int_{\Omega} |u| = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_n} |u| < \infty \right) \Rightarrow \left( \forall \sigma \in \text{Sym}(\mathbb{N}),\quad \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_n} |u| = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_{\sigma(n)}} |u| = ||u||_{L^1(\Omega)} \right)[/tex].
Io ci ho pensato un pò, ma non mi è venuto in mente un granché... Solo idee stupide tipo questa: sia [tex]\displaystyle \Omega = \bigcup_{n=1}^{\infty} \Omega_n[/tex], con [tex]\Omega_n \cap \Omega_m=\emptyset[/tex], [tex]\forall m \neq n[/tex]. Allora(??):
[tex]\displaystyle \left(\int_{\Omega} |u| = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_n} |u| < \infty \right) \Rightarrow \left( \forall \sigma \in \text{Sym}(\mathbb{N}),\quad \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_n} |u| = \sum_{n=1}^{\infty}\int_{\Omega_{\sigma(n)}} |u| = ||u||_{L^1(\Omega)} \right)[/tex].
Che cosa succede se togliessimo il valore assoluto alle funzioni integrande della tesi scritta da elgiovo? Mi sa che prima o poi in questo post finiremo col parlare di misure con segno 
(E' una mia sensazione, magari errata 
)
(E' una mia sensazione, magari errata )
"Mathematico":Funziona ugualmente tutto, per convergenza dominata. Infatti: sia [tex]\displaystyle \Omega = \bigcup _{n=1}^\infty \Omega_n[/tex] una partizione in misurabili di [tex]\Omega[/tex] e [tex]u \in L^1(\Omega )[/tex]. E' chiaro che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \chi_{\Omega_n}(x)=1\quad \forall x \in \Omega[/tex], quindi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty u \chi _{\Omega_n} = u\quad \text{q.o. in }\Omega[/tex] con convergenza dominata da [tex]u[/tex]. Quindi [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \int_{\Omega_n} u = \int_{\Omega} u[/tex].
Che cosa succede se togliessimo il valore assoluto alle funzioni integrande della tesi scritta da elgiovo?
Questo stesso ragionamento lo potremmo applicare ad una qualsiasi altra partizione in misurabili di [tex]\Omega[/tex], ottenendo una serie diversa la cui somma è sempre [tex]\int_{\Omega} u[/tex]. Direi che come generalizzazione del risultato sulle serie può andare.
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P.S.: per "partizione" intendo sempre "partizione disgiunta".
Questo discorso fa venire in mente un problema che potrebbe essere simpatico. Pensavo di generalizzare alla maniera di sopra il teorema di Riemann - Dini sui riordinamenti delle serie:
Teorema
Sia [tex](x_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione reale tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_n[/tex] converge non assolutamente. Allora per ogni [tex]\lambda[/tex] numero reale oppure [tex]\pm \infty[/tex] esiste un riordinamento [tex](y_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] di [tex](x_n)[/tex] tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty y_n = \lambda[/tex].
Probabilmente si può generalizzare agli integrali impropri convergenti non assolutamente, come ad esempio [tex]\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx[/tex]. Per esempio così:
Problema
Sia [tex]u\in L^1_{\text{loc}}( \mathbb{R} )[/tex] (*) tale che [tex]\displaystyle \lim_{c\to +\infty} \int_{-c}^c u(x)\,dx[/tex] esiste finito ma [tex]u \notin L^1(\mathbb{R})[/tex]. E' vero che per ogni [tex]\lambda \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}[/tex] esiste una partizione [tex]\{\Omega_n \}_{n=1}^\infty[/tex] di [tex]\mathbb{R}[/tex] in misurabili tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \int_{\Omega_n} u(x)\,dx=\lambda[/tex]?
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(*) Intendo le funzioni [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] misurabili e sommabili su ogni compatto.
Teorema
Sia [tex](x_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione reale tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty x_n[/tex] converge non assolutamente. Allora per ogni [tex]\lambda[/tex] numero reale oppure [tex]\pm \infty[/tex] esiste un riordinamento [tex](y_n)_{n\in \mathbb{N}}[/tex] di [tex](x_n)[/tex] tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty y_n = \lambda[/tex].
Probabilmente si può generalizzare agli integrali impropri convergenti non assolutamente, come ad esempio [tex]\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx[/tex]. Per esempio così:
Problema
Sia [tex]u\in L^1_{\text{loc}}( \mathbb{R} )[/tex] (*) tale che [tex]\displaystyle \lim_{c\to +\infty} \int_{-c}^c u(x)\,dx[/tex] esiste finito ma [tex]u \notin L^1(\mathbb{R})[/tex]. E' vero che per ogni [tex]\lambda \in \mathbb{R}\cup \{\pm \infty \}[/tex] esiste una partizione [tex]\{\Omega_n \}_{n=1}^\infty[/tex] di [tex]\mathbb{R}[/tex] in misurabili tale che [tex]\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \int_{\Omega_n} u(x)\,dx=\lambda[/tex]?
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(*) Intendo le funzioni [tex]\mathbb{R}\to\mathbb{R}[/tex] misurabili e sommabili su ogni compatto.
Secondo me esiste. Basta considerare la successione [tex]\displaystyle \{u_n\}_{n \in \mathbb{N}}=\left\{ \int_{\Omega_{\sigma(n)}} u(x)\text{d}x \right\}_{n \in \mathbb{N}}[/tex] e applicare il teorema di Riemann-Dini.
Sostanzialmente si gioca sul fatto che, [tex]\forall \zeta \in \mathbb{R}[/tex], [tex]\displaystyle \exists \omega : \int_{\omega} u(x)\text{d}x = \zeta[/tex], dove [tex]\omega[/tex] può essere a sua volta unione di insiemi non necessariamente contigui, o, detto in altre parole, una [tex]u \notin L^1(\mathbb{R})[/tex] ma tale che [tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} u(x)\text{d}x < \infty[/tex] è un "serbatoio" illimitato di numeri positivi e negativi con i quali costruirsi ad hoc il proprio [tex]\lambda[/tex].
Sostanzialmente si gioca sul fatto che, [tex]\forall \zeta \in \mathbb{R}[/tex], [tex]\displaystyle \exists \omega : \int_{\omega} u(x)\text{d}x = \zeta[/tex], dove [tex]\omega[/tex] può essere a sua volta unione di insiemi non necessariamente contigui, o, detto in altre parole, una [tex]u \notin L^1(\mathbb{R})[/tex] ma tale che [tex]\displaystyle \int_{\mathbb{R}} u(x)\text{d}x < \infty[/tex] è un "serbatoio" illimitato di numeri positivi e negativi con i quali costruirsi ad hoc il proprio [tex]\lambda[/tex].
Credo che l'idea di Elgiovo sia quella giusta.
Quello che avevo in mente quando lessi la domanda è questo:
Teorema: Sia [tex]f[/tex] una funzione integrabile su [tex]X[/tex], l'applicazione di insiemi
[tex]\displaystyle \nu(A)= \int_A f d\mu[/tex] con [tex]\displaystyle\nu:\mathcal{A}\longrightarrow \mathbb{R}\cup\left\{ -\infty \text{ o } +\infty\right\}[/tex], con [tex]\mathcal {A}\quad \sigma-\text{algebra}[/tex] di sottoinsiemi di [tex]X[/tex], è una misura con segno.
Se non valesse il teorema scritto da elgiovo, senza moduli, allora non avrebbe senso la numerabile additività delle misure con segno, cioè non avrebbe senso il seguente risultato:
Sia [tex]\left\{A_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione disgiunta di insiemi della [tex]\sigma-\text{algebra}\quad \mathcal{A}[/tex] allora:
[tex]\displaystyle\int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} f d\mu=\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\sum_{n=1}^\infty \nu(A_n)=\sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f d\mu[/tex]
E' impensabile asserire che la somma al secondo membro dipenda da permutazioni.... Ho detto sciocchezze?
Quello che avevo in mente quando lessi la domanda è questo:
Teorema: Sia [tex]f[/tex] una funzione integrabile su [tex]X[/tex], l'applicazione di insiemi
[tex]\displaystyle \nu(A)= \int_A f d\mu[/tex] con [tex]\displaystyle\nu:\mathcal{A}\longrightarrow \mathbb{R}\cup\left\{ -\infty \text{ o } +\infty\right\}[/tex], con [tex]\mathcal {A}\quad \sigma-\text{algebra}[/tex] di sottoinsiemi di [tex]X[/tex], è una misura con segno.
Se non valesse il teorema scritto da elgiovo, senza moduli, allora non avrebbe senso la numerabile additività delle misure con segno, cioè non avrebbe senso il seguente risultato:
Sia [tex]\left\{A_n\right\}_{n\in \mathbb{N}}[/tex] una successione disgiunta di insiemi della [tex]\sigma-\text{algebra}\quad \mathcal{A}[/tex] allora:
[tex]\displaystyle\int_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} f d\mu=\nu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)=\sum_{n=1}^\infty \nu(A_n)=\sum_{n=1}^\infty \int_{A_n} f d\mu[/tex]
E' impensabile asserire che la somma al secondo membro dipenda da permutazioni.... Ho detto sciocchezze?
Riprendendo quello detto da Elgiovo (volendo fornire esplicitamente un esempio), si può pensare a una funzione [tex]u(x)[/tex] che converge in senso Riemann - impropio su un intervallo [tex]A\subset \mathbb{R}[/tex], ma non sta in [tex]L^1(A)[/tex].
Per esempio consideriamo [tex]\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx[/tex]. Il suo valore finale secondo me si può cambiare a nostro piacere permutando la somma integrale sugli intervalli [tex]A_n=[k\frac{\pi}{2}i,(k+1)\frac{\pi}{2}][/tex], ovvero intervalli dove o è positiva o è negativa (mimando cioè il teorema di Riemann - Dini). Cosa ne pensate?
Per esempio consideriamo [tex]\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{+\infty}\frac{\sin(x)}{x}dx[/tex]. Il suo valore finale secondo me si può cambiare a nostro piacere permutando la somma integrale sugli intervalli [tex]A_n=[k\frac{\pi}{2}i,(k+1)\frac{\pi}{2}][/tex], ovvero intervalli dove o è positiva o è negativa (mimando cioè il teorema di Riemann - Dini). Cosa ne pensate?
Con questo thread, viene da chiedersi che dignità dare a risultati noti di serie infinite e di integrali impropri... 
in che senso serie infinite? (le serie sono sempre somme infinite ?...)
Comunque di integrali impropi bisogna prenderli per quel che sono secondo me
Con l'integrale di Lebesgue cambia il mondo e si levano via queste cose 
...
Comunque di integrali impropi bisogna prenderli per quel che sono secondo me
Con l'integrale di Lebesgue cambia il mondo e si levano via queste cose ...
"fu^2":Qua ti sbagli secondo me. Quella degli integrali impropri è una teoria che conviene conoscere perché non è inglobata nella teoria di Lebesgue ma ugualmente salta fuori spesso anche nelle applicazioni (IMHO).
Comunque di integrali impropi bisogna prenderli per quel che sono secondo me
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