Grosso dubbio teorema di Stokes
Ciao a tutti
ho un problema che mi chiede:
dato il campo [tex]F = \begin{pmatrix} y\ln(1+z^{2}) \\ y \arctan(x^{2}) \\ \ln(2+cos^{2}(z) \end{pmatrix}[/tex]
ho un problema che mi chiede:
dato il campo [tex]F = \begin{pmatrix} y\ln(1+z^{2}) \\ y \arctan(x^{2}) \\ \ln(2+cos^{2}(z) \end{pmatrix}[/tex]
- a) calcolare l'integrale del lavoro [tex]\int_{K_{1}} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}[/tex] lungo cerchio (non è un errore mio, è scritto così) orientato positivo
[tex]K_{1}: x^{2}+y^{2}=4, z=3[/tex]
[/list:u:1cojh4zz]
- b) calcolare con l'aiuto del torema di Stokes, il flusso del rotore di [tex]\overrightarrow{F}[/tex] attraverso il mantello del cilindro
[tex]S: x^{2}+y^{2}=4, 0\leq z\leq 3[/tex]
[/list:u:1cojh4zz]
il primo problema nasce già dal punto a)
io ho interpretato "cerchio orientato positivamente" come come la semicirconferenza positiva con centro on $0$
anche se non mi è chiaro il perchè venga utilizzato il termine "cerchio", l'integrale non dovrebbe essere di linea?
supponendo che io abbia capito correttamente dovrei spezzare l'integrale di linea in due linee
la linea $l_1$ che è data dalla semicirconferenza
la linea $l_2$ che è il diametro che chiude la semicirconferenza
per la seconda curva ho semplicemente la retta passante per un punti $y=-2$ e $y=2$ quindi parametrizzo la curva come
[tex]\gamma_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma'_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
quindi il lavoro lungo $l_2$
[tex]G_{2} = \int_{-2}^{2} \overrightarrow{F}(\gamma_{1}(t))\cdot \gamma'_{1}(t) dt = \int_{-2}^{2} \begin{pmatrix} y\ln(1+z^{2}) \\ y \arctan(x^{2}) \\ \ln(2+cos^{2}(z) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} dt[/tex]
che diventa
ma $x=0$ perchè ci troviamo sull'asse $y$ quindi
[tex]\int_{-2}^{2} t\cdot\arctan(0^2)dt=0[/tex]
non sono sicuro che sia corretto però
calcolo prima l'integrale lungo $l_1$:
parametrizzo usando le coordinate cilindriche dove però solo l'angolo cambia in quanto $z=3$ e $rho = 2$
[tex]\gamma_{1} = \begin{pmatrix} 2\cos\varphi \\ 2\sin\varphi \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma'_{1} = \begin{pmatrix} -2\sin\varphi \\ 2\cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]
con $ -pi/2 \leq varphi \leq pi/2$
per cui , indicando con $G_1$ il lavoro lungo questa linea
dove [tex]\overrightarrow{F}(\gamma_{1}(\varphi)) =\begin{pmatrix} 2\sin\varphi\cdot \ln(1+9) \\ 2\sin\varphi\cdot \arctan(4\cos^{2}\varphi) \\ \ln(2+\cos^{2}(3)) \end{pmatrix}[/tex]
per cui
[tex]G_{1} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{F}(\gamma_{1}(\varphi))\cdot \gamma'_{1}(\varphi) d\varphi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \begin{pmatrix} 2\sin\varphi\cdot \ln(1+9) \\ 2\sin\varphi\cdot \arctan(4\cos^{2}\varphi) \\ \ln(2+\cos^{2}(3)) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2\sin\varphi \\ 2\cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix} d\varphi[/tex]
che mi da
[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -4\sin^{2}\varphi\cdot\ln(10)+ 4\sin\varphi\cos\varphi\cdot\arctan(4\cos^{2}\varphi )d\varphi[/tex]
ho provato in più modi a fare questo integrale, ma in qualsiasi caso mi vengono delle cose assurde
dove sbaglio??
ho pensato anche di usare il teorema del rotore e trasformare l'integrale di linea in un integrale si superficie.
Ma dovrei prendere l'intera superficie del semicilindro? usando questo metodo, non mi troverei di fatto a calcolare la stessa cosa che è chiesta nel secondo punto?
Risposte
Ma scusa, perché fai così? Parametrizza la circonferenza (hai ragione che è una circonferenza ma certe volte uno si confonde e scrive "cerchio") nel modo solito con seno e coseno e fatti il conto. Perché combini quel casino con i segmenti \(l_1, l_2\ldots\)?
ciao
ho diviso in due parti perchè la definizione "circonferenza orientata positivamente" mi fa pensa alla semi-circonferenza che si trova nel semiasse positivo delle $x$
avevo anche provato a prendere l'intera circonferenza ma i calcoli di certo non si semplificano, l'integrale brutto che ho alla fine resta solo che lo integro tra $0$ e $pi$.
quindi sono al punto di partenza ovvero quell'integrale. Ci sono delle semplificazioni che non vedo?
ho diviso in due parti perchè la definizione "circonferenza orientata positivamente" mi fa pensa alla semi-circonferenza che si trova nel semiasse positivo delle $x$
avevo anche provato a prendere l'intera circonferenza ma i calcoli di certo non si semplificano, l'integrale brutto che ho alla fine resta solo che lo integro tra $0$ e $pi$.
quindi sono al punto di partenza ovvero quell'integrale. Ci sono delle semplificazioni che non vedo?