Grosso dubbio teorema di Stokes

[Summerwind78]

Ciao a tutti

ho un problema che mi chiede:

dato il campo [tex]F = \begin{pmatrix} y\ln(1+z^{2}) \\ y \arctan(x^{2}) \\ \ln(2+cos^{2}(z) \end{pmatrix}[/tex]

a) calcolare l'integrale del lavoro [tex]\int_{K_{1}} \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}[/tex] lungo cerchio (non è un errore mio, è scritto così) orientato positivo

[tex]K_{1}: x^{2}+y^{2}=4, z=3[/tex]

[/list:u:1cojh4zz]


b) calcolare con l'aiuto del torema di Stokes, il flusso del rotore di [tex]\overrightarrow{F}[/tex] attraverso il mantello del cilindro

[tex]S: x^{2}+y^{2}=4, 0\leq z\leq 3[/tex]

[/list:u:1cojh4zz]

il primo problema nasce già dal punto a)

io ho interpretato "cerchio orientato positivamente" come come la semicirconferenza positiva con centro on $0$
anche se non mi è chiaro il perchè venga utilizzato il termine "cerchio", l'integrale non dovrebbe essere di linea?

supponendo che io abbia capito correttamente dovrei spezzare l'integrale di linea in due linee

la linea $l_1$ che è data dalla semicirconferenza

la linea $l_2$ che è il diametro che chiude la semicirconferenza

per la seconda curva ho semplicemente la retta passante per un punti $y=-2$ e $y=2$ quindi parametrizzo la curva come

[tex]\gamma_{2} = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma'_{1} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]

quindi il lavoro lungo $l_2$

[tex]G_{2} = \int_{-2}^{2} \overrightarrow{F}(\gamma_{1}(t))\cdot \gamma'_{1}(t) dt = \int_{-2}^{2} \begin{pmatrix} y\ln(1+z^{2}) \\ y \arctan(x^{2}) \\ \ln(2+cos^{2}(z) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} dt[/tex]
che diventa

ma $x=0$ perchè ci troviamo sull'asse $y$ quindi

[tex]\int_{-2}^{2} t\cdot\arctan(0^2)dt=0[/tex]

non sono sicuro che sia corretto però

calcolo prima l'integrale lungo $l_1$:

parametrizzo usando le coordinate cilindriche dove però solo l'angolo cambia in quanto $z=3$ e $rho = 2$

[tex]\gamma_{1} = \begin{pmatrix} 2\cos\varphi \\ 2\sin\varphi \\ 3 \end{pmatrix} \Rightarrow \gamma'_{1} = \begin{pmatrix} -2\sin\varphi \\ 2\cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix}[/tex]

con $ -pi/2 \leq varphi \leq pi/2$
per cui , indicando con $G_1$ il lavoro lungo questa linea



dove [tex]\overrightarrow{F}(\gamma_{1}(\varphi)) =\begin{pmatrix} 2\sin\varphi\cdot \ln(1+9) \\ 2\sin\varphi\cdot \arctan(4\cos^{2}\varphi) \\ \ln(2+\cos^{2}(3)) \end{pmatrix}[/tex]

per cui

[tex]G_{1} = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \overrightarrow{F}(\gamma_{1}(\varphi))\cdot \gamma'_{1}(\varphi) d\varphi = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \begin{pmatrix} 2\sin\varphi\cdot \ln(1+9) \\ 2\sin\varphi\cdot \arctan(4\cos^{2}\varphi) \\ \ln(2+\cos^{2}(3)) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2\sin\varphi \\ 2\cos\varphi \\ 0 \end{pmatrix} d\varphi[/tex]

che mi da

[tex]\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} -4\sin^{2}\varphi\cdot\ln(10)+ 4\sin\varphi\cos\varphi\cdot\arctan(4\cos^{2}\varphi )d\varphi[/tex]

ho provato in più modi a fare questo integrale, ma in qualsiasi caso mi vengono delle cose assurde

dove sbaglio??

ho pensato anche di usare il teorema del rotore e trasformare l'integrale di linea in un integrale si superficie.

Ma dovrei prendere l'intera superficie del semicilindro? usando questo metodo, non mi troverei di fatto a calcolare la stessa cosa che è chiesta nel secondo punto?

[dissonance]

Ma scusa, perché fai così? Parametrizza la circonferenza (hai ragione che è una circonferenza ma certe volte uno si confonde e scrive "cerchio") nel modo solito con seno e coseno e fatti il conto. Perché combini quel casino con i segmenti \(l_1, l_2\ldots\)?

[Summerwind78]

ciao

ho diviso in due parti perchè la definizione "circonferenza orientata positivamente" mi fa pensa alla semi-circonferenza che si trova nel semiasse positivo delle $x$


avevo anche provato a prendere l'intera circonferenza ma i calcoli di certo non si semplificano, l'integrale brutto che ho alla fine resta solo che lo integro tra $0$ e $pi$.

quindi sono al punto di partenza ovvero quell'integrale. Ci sono delle semplificazioni che non vedo?