Grossissimo dubbio Criterio asintotico
Salve a tutti ho un grosso dubbio
Il criterio asintotico mi dice che se ho 2 serie,ad esempio la mia $a_n$ e la confronto con la serie armonica e il loro limite è diverso da $0$ e $\infty$ allora le due serie hanno lo stesso carattere! ma anche se il loro rapporto al limite mi da come risultato un numero negativo?
ex.
$sum_{m=1}^\infty ln(frac{1+sqrt(n)}{sqrt(n)}) - sin(frac{1}{sqrt(n)}) $
voglio applicare il rapporto asintotico e ottengo
$lim frac{-frac{2}{n} + o(frac{1}{n})}{frac{1}{n}} $ che fa -2
ho sbagliato qualcosa o il criterio si puo applicare anche in questi casi??
Il criterio asintotico mi dice che se ho 2 serie,ad esempio la mia $a_n$ e la confronto con la serie armonica e il loro limite è diverso da $0$ e $\infty$ allora le due serie hanno lo stesso carattere! ma anche se il loro rapporto al limite mi da come risultato un numero negativo?
ex.
$sum_{m=1}^\infty ln(frac{1+sqrt(n)}{sqrt(n)}) - sin(frac{1}{sqrt(n)}) $
voglio applicare il rapporto asintotico e ottengo
$lim frac{-frac{2}{n} + o(frac{1}{n})}{frac{1}{n}} $ che fa -2
ho sbagliato qualcosa o il criterio si puo applicare anche in questi casi??
Risposte
Guarda che gli addendi non sono infinitesimi del primo ordine, quindi c'è qualcosa che non va.
ma se faccio lo sviluppo di Taylor..
$ln(1+frac{1}{sqrt(n)}) = frac{1}{sqrt(n)} - frac{1}{2n} + o(frac{1}{n})$
$sin(frac{1}{sqrt(n)})=frac{1}{sqrt(n)}+o(frac{1}{n})$
ottengo al numeratore
$- frac{1}{2n} + o(frac{1}{n})$
$ln(1+frac{1}{sqrt(n)}) = frac{1}{sqrt(n)} - frac{1}{2n} + o(frac{1}{n})$
$sin(frac{1}{sqrt(n)})=frac{1}{sqrt(n)}+o(frac{1}{n})$
ottengo al numeratore
$- frac{1}{2n} + o(frac{1}{n})$
Ma la successione che hai scritto non è la somma di quelle che hai sviluppato... il logaritmo comprende tutto...
ma la seconda è sempre positiva poiche con n Naturale sin(1/n) è sempre positiva perchè siamo sempre nel primo quadrante..
Flaviuz cosa intendi?
Flaviuz cosa intendi?
Ma perchè non rileggi il testo che hai scritto?
Le parentesi...
Le parentesi...
ops..mi dispiace tantissimo non c'erano quelle parentesi ora è corretto..
E allora devi sviluppare in serie di Taylor sia il logaritmo che il seno...vedendo il logaritmo in questo modo $log(1+1/sqrt(n))$
@Lorin guarda il 3°post!
Si l'ho letto e mi sembra giusto il ragionamento, solo che non capisco quando tu dici il numeratore. Quello che devi semplicemente dire per concludere è che la serie di partenza è asintotica alla $-sum_(n=1)^(+oo)1/(2n)$ e concludere...
ah..quindi il segno lo porto fuori dalla sommatoria e posso gia concludere che diverge a $- \infty$ ?
Non so se si può dire che diverge a meno infinito, ma sicuramente puoi dire che diverge perchè $\alpha=1$
"paxpax92":
Salve a tutti ho un grosso dubbio
Il criterio asintotico mi dice che se ho 2 serie,ad esempio la mia $a_n$ e la confronto con la serie armonica e il loro limite è diverso da $0$ e $\infty$ allora le due serie hanno lo stesso carattere! ma anche se il loro rapporto al limite mi da come risultato un numero negativo?
Vuol dire che stai facendo pasticci. Fai MOLTA attenzione al fatto che il criterio del confronto asintotico si applica solo a serie a termini positivi. Secondo il tuo ragionamento, questa serie
\[\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\]
sarebbe divergente. E invece è convergente, per il criterio di Leibniz.
Nel tuo caso, sei sicuro che la serie sia a termini positivi? Se non lo è e vuoi comunque applicare dei confronti devi prima prendere il valore assoluto, così da studiare la convergenza assoluta.
no bè in questo caso la serie è a termini costanti positivi per ogni n!
se fosse a segni alterni è ovvio che devo applicare o la convergenza assoluta o il criterio di Leibiniz!
se fosse a segni alterni è ovvio che devo applicare o la convergenza assoluta o il criterio di Leibiniz!
E allora com'è possibile che al limite ti venga un numero negativo? Se questa serie è a termini positivi e tu la confronti con una serie armonica generalizzata, che pure a termini positivi è, da dove dovrebbe saltare fuori il numero negativo? Quindi ripeto: o la serie non ha termini tutti positivi oppure c'è qualche errore nel confronto asintotico.
si vede che la serie allora non ha tutti i termini positivi perchè secondo me nel confronto asintotico non ci sono errori..quindi come procedo?
Beh, prendi il valore assoluto per fare il confronto.
E poi concludi con considerazioni sul segno degli addendi.
E poi concludi con considerazioni sul segno degli addendi.
non posso portare fuori dalla sommatoria il segno -?
in questo modo è come se considerassi $-a_n$ che diverge a + infinito
quindi $a_n$ diverge a -infinito
se usassi il valore assoluto non potrei solo concludere che non converge assolutamente e quindi non so se converge semplicemente?
in questo modo è come se considerassi $-a_n$ che diverge a + infinito
quindi $a_n$ diverge a -infinito
se usassi il valore assoluto non potrei solo concludere che non converge assolutamente e quindi non so se converge semplicemente?
Infatti è quello il problema. Devi dimostrare che la serie è definitivamente di segno negativo, così puoi portar fuori il meno e avere una serie a termini positivi. A quel punto applichi il confronto e stabilisci che questa serie diverge. Il risultato finale sarà che la tua serie diverge negativamente.
MA ti manca di svolgere il pezzo sottolineato.
MA ti manca di svolgere il pezzo sottolineato.
sinceramente non ho idee su come fare a dimostrare che è una serie a termini negativi..
"paxpax92":
sinceramente non ho idee su come fare a dimostrare che è una serie a termini negativi..
Perchè,dato che dovresti aver calcolato più d'un limite(ad ex,certamente,il $lim_(n->oo)(a_n)/(1/n)cdots$),
non provi a tirare in causa il teorema della permanenza del segno,
per verificare che la tua serie è a termini definitivamente negativi?
Saluti dal web.
P.S.In casi come questo la nuova firma di Gugo è più azzeccata che mai,
e quasi sempre lo è già moltissimo di suo in molti campi della Vita:
a volte dettagli a prima vista banali,che allo sguardo iniziale scartiamo d'attenzionare,
si rivelano decisivi per risolvere i dubbi che inevitabilmente nascono in quell'osservazione critica dei problemi indispensabile a chi ha la curiosità da te palesata..
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