Green stokes

[xnix]

scusate, studiando i teoremi di stokes e di green mi sono venuti dubboi che mi hanno convinto di non averci capito nulla! il teorema di green se non ho capito male è un caso particolare del teorema di stokes in quanto $\int int = B_x(x,y)-A_y(x,y)$ in quanto $(0,0,1)$ è il versore normale al piano $x,y$ , di conseguenza ho dedotto che il teorema di green mette in relazione superfici parallele al piano $x,y$ con integrali di linea e di conseguenza quello di stokes tratta superfici curve.. esatto o tutto sbagliato?? help me!!

[fede161]

Non è proprio così, il teorema di Green è un caso particolare (a due dimensioni) del teorema del Rotore, che a sua volta è un caso particolare del teorema di Stokes..

[xnix]

potresti essere più chiaro? scusami!!

[fede161]

Allora.. La formula di gauss green ti dice che:

$ int_(D) (partialf_2)/dx- (partialf_1)/ dy d(x,y) = int_(partialD) [f_1dx+f_2dy] $

come puoi vedere, tale teorema prende in considerazione solo 2 vaiabili (x e y)

In tre dimensioni invece, esiste un'analoga formula di Gauss-Green, che prende il nome di "formula di Stokes" che possiamo scrivere così:

$ int_(D) dsigma = int_(partialD) f_1dx_1+f_2 dy+f_3dz $

Se in questa formula formula, vai a sostituire n=2, ecco che diventa la formula di gauss-green..
(ovviamente ho considerato la formula di Stokes nel caso di R3)

[xnix]

ah grande!! e senti per quanto riguarda la divergenza che relazione c'è con i due teoremi.. ce ti spiego ho studiato tuttoo questo capitolo ma mi sembra di avere una macedonia di informazioni.. se puoi aiutami

[fede161]

Riguardo alla formula di Gauss-Green, diciamo che si può dare una applicazione un po' differente collegata in modo particolare alla fisica.

Se ad esempio prendiamo un solido qualsiasi (suppenendo che tu sappia che cos'è un flusso) , possiamo dire che la divergenza
non è altro che quel flusso.

Ad esempio:

se A è un solido di volume V, delimitato da una superficie chiusa S, il flusso uscente da S è dato dalla somma dei flussi uscenti da tanti cubetti infinitesimi contenuti in A.

in formule:

Flusso di un cubo A = $ (partial F_1)/(partialx)+ (partialF_2)/(partialy)+(partialF_3)/(partialz) = div A $

Segue poi il teorema della divergenza, cioè:

"l'integrale su E (una qualsiasi superficie) della divergenza di un campo vettoriale V, è uguale al flusso di V attraverso $partialE$

[xnix]

grazie mille capito!! ora scorre molto meglio la dimostrazione! grazie