Grafico radici N-esime
Come faccio a determinare il grafico? Devo per forza trovare tutte le radici? C'è un modo "rapido" per evitare tutti i calcoli, non so, qualche barbatrucco?
Il compito è domani ed il problema principale è che non si può usare la calcolatrice, altrimenti non avrei avuto molte difficiltà a trovare i valori in gradi.
Grazie, poi non vi rompo più ahah
Il compito è domani ed il problema principale è che non si può usare la calcolatrice, altrimenti non avrei avuto molte difficiltà a trovare i valori in gradi.
Grazie, poi non vi rompo più ahah
Risposte
Nel piano complesso dove si trova $z$ ? Le sue coordinate sono $x=-7$ e $y=1$ quindi si troverà nel secondo quadrante, vicino all'asse delle $x$.
Le radici quarte avranno come modulo la radice quarta del modulo di $z$ ma questo non ti interessa, a te interessa l'angolo ... ora l'angolo di $z$ è quasi $pi$ (ovvero $180°$) quindi l'angolo di una sua radice quarta sarà un quarto di questo e cioè poco meno di $pi/4$ (ovvero poco meno di $45°$), le altre tre saranno distanziate di un quarto di giro e cioè $90°$ ... vedi tu qual è la risposta tra quelle ...
Le radici quarte avranno come modulo la radice quarta del modulo di $z$ ma questo non ti interessa, a te interessa l'angolo ... ora l'angolo di $z$ è quasi $pi$ (ovvero $180°$) quindi l'angolo di una sua radice quarta sarà un quarto di questo e cioè poco meno di $pi/4$ (ovvero poco meno di $45°$), le altre tre saranno distanziate di un quarto di giro e cioè $90°$ ... vedi tu qual è la risposta tra quelle ...
Una cosina sola mi sfugge: "l'angolo di z è quasi π (ovvero 180°)" come fai a stabilire questo?
"... $z$ si trova nel secondo quadrante molto vicino all'asse $x$ ...", questo ad occhio oppure basta uno schizzo del punto che "... ha coordinate $(-7,1)$ ..."
Ok, capito. Ma allora seguendo questo ragionamento in quest'altro non dovrebbe essere la D?
Anche se poi da Wolframalpha sembra la C
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%3D+1-sqrt(3)i)
Anche se poi da Wolframalpha sembra la C
(http://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%3D+1-sqrt(3)i)
un'alternativa può essere calcolare il numero sotto forma esponenziale o trigonometrica.
$z=1-sqrt3i$
modulo $|z|=sqrt(1^2+(sqrt3)^2)=2$ e fase(argomento,angolo) $arctan(-sqrt3)=2pi-pi/3=(5pi)/3$
la fase l'ho calcolata tenendo conto che il vettore appartiene al quarto quadrante poiché ha componente reale positiva e componente immaginaria negativa.
$z=2e^(i((5pi)/3))$ e da questo $z^4=16e^(i((20pi)/3))=16e^(i(6pi+(2pi)/3))$
dunque non può essere altro che la $b$
naturalmente la forma trigonometrica sarebbe stata meglio utilizzarla considerando: $z=2(1/2-sqrt3/2i)$
$z=2(cos(pi/3)-isin(pi/3))$ dove $z^4=16(cos(pi/3)-isin(pi/3))^4$ e con De Moivre chiudi.
$z=1-sqrt3i$
modulo $|z|=sqrt(1^2+(sqrt3)^2)=2$ e fase(argomento,angolo) $arctan(-sqrt3)=2pi-pi/3=(5pi)/3$
la fase l'ho calcolata tenendo conto che il vettore appartiene al quarto quadrante poiché ha componente reale positiva e componente immaginaria negativa.
$z=2e^(i((5pi)/3))$ e da questo $z^4=16e^(i((20pi)/3))=16e^(i(6pi+(2pi)/3))$
dunque non può essere altro che la $b$
naturalmente la forma trigonometrica sarebbe stata meglio utilizzarla considerando: $z=2(1/2-sqrt3/2i)$
$z=2(cos(pi/3)-isin(pi/3))$ dove $z^4=16(cos(pi/3)-isin(pi/3))^4$ e con De Moivre chiudi.
Il solito esagerato ... 
$-sqrt(3)$ è una tangente nota ovvero $-60°$, la quarta potenza avrà perciò un angolo di $-240°$ cioè $120°$ ...
$-sqrt(3)$ è una tangente nota ovvero $-60°$, la quarta potenza avrà perciò un angolo di $-240°$ cioè $120°$ ...
"axpgn":
Il solito esagerato ...
È più forte di me
.... scherzo. Quando posso,i radianti, mi piace gestirli positivi. Anche perché poteva essere tanto $-60°$ quanto $120°$, per questo mi sono apprecato al considerare le componenti vettoriali.
Esatto! C'è tra le opzioni ci sono sia $-60°$ che $120°$, come distinguerle 
Poi qui l'intuizione del quadrante non vale più mi pare.
Poi qui l'intuizione del quadrante non vale più mi pare.
"Lory9618":
Esatto! C'è tra le opzioni ci sono sia $-60°$ che $120°$, come distinguerle
Poi qui l'intuizione del quadrante non vale più mi pare.
Non è mica un'intuizione quella del quadrante cui appartiene il vettore.
L'angolo è $(2pi)/3$ ovvero $120°$.
Lory
Un attimo ... prima di tutto distinguiamo l'angolo di $z$ da quello di $z^4$ ... ho detto che l'angolo di $z$ è $-60°$ non solo per il valore della tangente ($-sqrt(3)$) ma anche perché il punto si trova nel quarto quadrante (vedi le coordinate $(x,y)=(1,-sqrt(3))$.
Perciò ne consegue che l'angolo di $z^4$ è il quadruplo cioè $-240°=120°$, ok?
Se avessi preso l'angolo di $z$ pari a $120°$ sarebbe stato ... lo stesso ... infatti il quadruplo di $120°$ è $480°$ ovvero $480°-360°=120°$ ... 
Cordialmente, Alex
Un attimo ... prima di tutto distinguiamo l'angolo di $z$ da quello di $z^4$ ... ho detto che l'angolo di $z$ è $-60°$ non solo per il valore della tangente ($-sqrt(3)$) ma anche perché il punto si trova nel quarto quadrante (vedi le coordinate $(x,y)=(1,-sqrt(3))$.
Perciò ne consegue che l'angolo di $z^4$ è il quadruplo cioè $-240°=120°$, ok?
Se avessi preso l'angolo di $z$ pari a $120°$ sarebbe stato ... lo stesso
... infatti il quadruplo di $120°$ è $480°$ ovvero $480°-360°=120°$ ... Cordialmente, Alex
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