Grafico per il calcolo di un integrale curvilineo
Ho qualche difficoltà nell'interpretazione del grafico per questo integrale:
$int_gamma$ $(y)/(x+2y)^2dx$ - $(x)/(x+2y)^2dy$
dove gamma è la curva che ha per sostegno la spezzata di vertici
p0= (1,1); p1=(2,5); p2=(4,1) ( da intendersi nel verso antiorario)
Disegnando il grafico viene fuori un triangolo, allora la mia domanda è questa:
Devo calcolare l'integrale intendendo ogni lato come un segmento, quindi considerare 3 segmenti con relative equazioni parametriche e svolgere 3 integrali? Come definisco le equazioni parametriche dato quei punti?
L'integrale finale sarà la somma dei 3 integrali calcolati.
Ho capito bene? purtroppo non ho un riscontro per poter verificare il mio ragionamento
grazie a chiunque saprà aiutarmi
$int_gamma$ $(y)/(x+2y)^2dx$ - $(x)/(x+2y)^2dy$
dove gamma è la curva che ha per sostegno la spezzata di vertici
p0= (1,1); p1=(2,5); p2=(4,1) ( da intendersi nel verso antiorario)
Disegnando il grafico viene fuori un triangolo, allora la mia domanda è questa:
Devo calcolare l'integrale intendendo ogni lato come un segmento, quindi considerare 3 segmenti con relative equazioni parametriche e svolgere 3 integrali? Come definisco le equazioni parametriche dato quei punti?
L'integrale finale sarà la somma dei 3 integrali calcolati.
Ho capito bene? purtroppo non ho un riscontro per poter verificare il mio ragionamento
grazie a chiunque saprà aiutarmi
Risposte
Devo calcolare l'integrale intendendo ogni lato come un segmento, quindi considerare 3 segmenti con relative equazioni parametriche e svolgere 3 integrali?
Si certo, il curva $\gamma$ è regolare soltanto a tratti, e quindi hai bisogno di calcolare più integrali, in questo caso 3, il numero dei lati del triangolo.
Come definisco le equazioni p arametriche dato quei punti? Sad
Un segmento si parametrizza molto facilmente.
Siano $a$ e $b$ due punti in $RR^2$. La funzione: $f(t) = (1-t)*a + t*b$, con $t \in [0,1]$ è una parametrizzazione del segmento.
L'integrale finale sarà la somma dei 3 integrali calcolati.
Ho capito bene? purtroppo non ho un riscontro per poter verificare il mio ragionamento Sad
Sì.
Tutto chiaro?
Infatti come dice pat devi fare 3 integrali.
I segmenti li trovi come rette passanti per i punti.Attenta all'orientazione cmq
Dovrebbero essere
$x=t,y=1, tin(0,4)$
$x=t,y=9-2t, tin(2,4)$
$x=t,y=(t-1)/4+1 ,tin(1,2)$
I segmenti li trovi come rette passanti per i punti.Attenta all'orientazione cmq
Dovrebbero essere
$x=t,y=1, tin(0,4)$
$x=t,y=9-2t, tin(2,4)$
$x=t,y=(t-1)/4+1 ,tin(1,2)$
"pat87":
Un segmento si parametrizza molto facilmente.
Siano $a$ e $b$ due punti in $RR^2$. La funzione: $f(t) = (1-t)*a + t*b$, con $t \in [0,1]$ è una parametrizzazione del segmento.
perdonami,
la funzione che mi hai citato è standard? cioè ogni volta che mi trovo ad avere a che fare con un segmento e dei punti dati, per parametrizzarla utilizzo la formula da te citata?
grazie mille
"squalllionheart":
Infatti come dice pat devi fare 3 integrali.
I segmenti li trovi come rette passanti per i punti.Attenta all'orientazione cmq
Dovrebbero essere
$x=t,y=1, tin(0,4)$
$x=t,y=9-2t, tin(2,4)$
$x=t,y=(t-1)/4+1 ,tin(1,2)$
ah ok!
grazie anche a te
Sì, puoi utilizzarla sempre. 
ok!!
grazie mille a tutti è chiarissimo
grazie mille a tutti è chiarissimo
scusate ma se e b sono una coppia come si applica la quella formula?
Ehm, moltiplicazione di un vettore per uno scalare...
$f(t) = (1-t) (a_1,a_2) + t*(b_1,b_2) = ((1-t)a_1 + t*b_1, (1-t)a_2 + t*b_2)$, $t \in [0,1]$
La stessa parametrizzazione è valida anche in $RR^n$, avendo n-tuple invece che coppie ordinate.
$f(t) = (1-t) (a_1,a_2) + t*(b_1,b_2) = ((1-t)a_1 + t*b_1, (1-t)a_2 + t*b_2)$, $t \in [0,1]$
La stessa parametrizzazione è valida anche in $RR^n$, avendo n-tuple invece che coppie ordinate.
la notazione nn mi era chiara
perdonatemi se lo riporto su,
ma no riesco a trovare x(t) ed y(t)
potreste esplicitarmi almeno un passaggio con i punti che ho indicato su per farvore?
in che modo inoltre considero l'intervallo?
grazie infinitamente.
Pandora
ma no riesco a trovare x(t) ed y(t)
potreste esplicitarmi almeno un passaggio con i punti che ho indicato su per farvore?
in che modo inoltre considero l'intervallo?
grazie infinitamente.
Pandora
guarda i conti te li avevo fatti devi soli sostituire alla dorma differenziale e integrare. Fatti il disegno e confronta con quelle curve che ti avevo scritto.
si il problema è che non mi ci trovo.
ora non so dov'è che sbaglio.
Nel post precedente mi hai detto che si possono trovare come retta passante per i punti.
Io ho utilizzato questa formula qui : ho i due punti
A (x1,y1) B(x2,y2)
e faccio:
x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1
e mi trovo il segmento...
ma magari sto facendo confusione non so...
ora non so dov'è che sbaglio.
Nel post precedente mi hai detto che si possono trovare come retta passante per i punti.
Io ho utilizzato questa formula qui : ho i due punti
A (x1,y1) B(x2,y2)
e faccio:
x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1
e mi trovo il segmento...
ma magari sto facendo confusione non so...
si è quella fai due prove e verifica il il punti appartengano alla retta.
perdonami ma io continuo a non trovarmi.
in qualche cosa starò sbagliando no?
nella formula che ho scritto ci vado a sostituire i punti. ora ciò che ne esce fuori è l'equazione del singolo segmento.
Ma:
chi è x(t) e chi y(t)?? cioè che ci faccio con quella cosa che mi sono ritrovata ??
è questo che non riesco a capire.
in qualche cosa starò sbagliando no?
nella formula che ho scritto ci vado a sostituire i punti. ora ciò che ne esce fuori è l'equazione del singolo segmento.
Ma:
chi è x(t) e chi y(t)?? cioè che ci faccio con quella cosa che mi sono ritrovata ??
è questo che non riesco a capire.
Esempio:
$omega=xy^2dx+y^4dy$
la curva ad esempio è il cerchio chiuso $tin(0,2pi)$
$\{(x(t)=cost), (y(t)=sint):}$
$\{(x'(t)=-sint), (y'(t)=cost):}$
ora $int_\gamma\omega=int_{0}^{2pi}(cost)(sint)^2(-sint)+(sint)^4(cost)dt$
Ho sostituito come vedi ad ogni membro della forma differenziale il corrispettivo sulla curva e ho calcolato l'integrale la dove òa curva è definita.
Spero di essere stata chiara.
Se ci sono problemi facciamo il tuo.
A presto mari.
$omega=xy^2dx+y^4dy$
la curva ad esempio è il cerchio chiuso $tin(0,2pi)$
$\{(x(t)=cost), (y(t)=sint):}$
$\{(x'(t)=-sint), (y'(t)=cost):}$
ora $int_\gamma\omega=int_{0}^{2pi}(cost)(sint)^2(-sint)+(sint)^4(cost)dt$
Ho sostituito come vedi ad ogni membro della forma differenziale il corrispettivo sulla curva e ho calcolato l'integrale la dove òa curva è definita.
Spero di essere stata chiara.
Se ci sono problemi facciamo il tuo.
A presto mari.
"squalllionheart":
Infatti come dice pat devi fare 3 integrali.
I segmenti li trovi come rette passanti per i punti.Attenta all'orientazione cmq
Dovrebbero essere
$x=t,y=1, tin(0,4)$
$x=t,y=9-2t, tin(2,4)$
$x=t,y=(t-1)/4+1 ,tin(1,2)$
Ciao ho capito l'esempio che tu mi hai fatto. Fin li non ho nessun problema nel sostituire nella formula una volta trovate x(t) ed y(t) e relative derivate...
Approfittando della tua gentilezza e disponibilità, potresti per favore mostrarmi i passaggi attraverso i quali sei arrivata a scrivere che $x=t,y=1, tin(1,4)$ ? Mi basta almeno uno, per vedere come hai applicato la formula, perchè purtroppo non riesco a ricondurmici.
Nel caso specifico, la mia difficoltà sta proprio nell'individuare x ed y.
Perche tu ti trovi con x=t e y= 1 ?
Perdonami se mi dilungo e se sono diventata ripetitiva.
Ti ringrazio in anticipo.
Praticamente nn hai bisogno nemmeno di far conti dato che il segmento in questione è una retta parallela all'asse x, se ricordo bene era la base del triangolo, quindi la y si mantiene costante ed uguale ad 1 ed x è una retta che varia in $(1,4)$ che si può parametrizzare come $t$.Nota che il senso è quello antiorario altrimenti le equazioni cambierebbero non sono nel segno della $t$.
Per gli altri casi invece ho calcolato le retta passanti per due punti.
Fammi sapere se sono stata chiara. Un bacio Mari.
Per gli altri casi invece ho calcolato le retta passanti per due punti.
Fammi sapere se sono stata chiara. Un bacio Mari.
ah perfetto ora è chiaro.
grazie mille e scusa ancora.
sei stata gentilissima
grazie mille e scusa ancora.
sei stata gentilissima
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo