Grafico Funzione Integrale.
Ciao a tutti devo studiare il grafico della seguente funzione integrale:
$int_(1)^(x) (1+t)/(1+t+t^2)e^(-1/t)$
Io sono giunto a queste conclusioni:
1)Il domino della funzione integrale risulta essere: $]-\infty,+\infty[$; in quanto la funzione integranda è definita per $t!=0$; ma la funzione integrale risulta essere sommabile sia in un intorno sinistro che in un intorno destro del punto.
2)La funzione integrale risulta essere crescente per valori di $t> -1$ e decrescente per valori di $t<-1$.
E' corretto quello che ho scritto fino ad ora?
$int_(1)^(x) (1+t)/(1+t+t^2)e^(-1/t)$
Io sono giunto a queste conclusioni:
1)Il domino della funzione integrale risulta essere: $]-\infty,+\infty[$; in quanto la funzione integranda è definita per $t!=0$; ma la funzione integrale risulta essere sommabile sia in un intorno sinistro che in un intorno destro del punto.
2)La funzione integrale risulta essere crescente per valori di $t> -1$ e decrescente per valori di $t<-1$.
E' corretto quello che ho scritto fino ad ora?
Risposte
Sicuro che l'integrando sia sommabile a sinistra di [tex]0[/tex]?
La funzione integranda è infinita per [tex]t\to 0^-[/tex], ma di che ordine?
La funzione integranda è infinita per [tex]t\to 0^-[/tex], ma di che ordine?
Si hai ragione è sbagliato la funzione integranda risulta essere sommabile dalla destra; invece dalla sinistra usando il teorema del confronto sono arrivato a concludere che la sommabilità della funzione integranda dipende solo dal fattore $e^(-1/x)$; A questo punto usando il teorema della convergenza ho:
$lim_(x->0^-) 1/e^(1/x)|x|^\alpha$; a questo punto qui ho un dubbio questa funzione è il prodoto di un infinito per un infinitesimo.E quindi mi da forma indeterminata.Come faccio a risolvere questo limite?Posso ricondurmi a qualche limite notevole?
$lim_(x->0^-) 1/e^(1/x)|x|^\alpha$; a questo punto qui ho un dubbio questa funzione è il prodoto di un infinito per un infinitesimo.E quindi mi da forma indeterminata.Come faccio a risolvere questo limite?Posso ricondurmi a qualche limite notevole?
Sostituisci [tex]y=-\frac{1}{x}[/tex]...
E se sostituisco invece: $y=1/x$.
In questo modo otterrei:
$lim_(t->-\infty) 1/(e^y|y|^\alpha)$ o sbaglio?
In questo modo otterrei:
$lim_(t->-\infty) 1/(e^y|y|^\alpha)$ o sbaglio?
La sostituzione indicata ha il pregio di eliminarti davanti alle scatole il valore assoluto.
Ah ok grazie 1000 ho cappito; posso chiedertiun altro suggerimento; la derivata seconda diquesta funzione é:
$f"(x)=-(x^4+x^3-2x^2-2x-1)/((1+x+x^2)e^(1/x)x^2)$ ora $f"(x)$ sara maggiore di $0$ se e solo se:
$x^4+x^3-2x^2-2x-1<0$
Ora questa disequazione è impossibile risolverla algebricamente; visto anche che durante il compito non è possibile usare nessun tipo di aiuto; calcolatrice compresa; secondo te qual'è il metodo migliore per risolverla e studiare dunque la concavità/convessità?
$f"(x)=-(x^4+x^3-2x^2-2x-1)/((1+x+x^2)e^(1/x)x^2)$ ora $f"(x)$ sara maggiore di $0$ se e solo se:
$x^4+x^3-2x^2-2x-1<0$
Ora questa disequazione è impossibile risolverla algebricamente; visto anche che durante il compito non è possibile usare nessun tipo di aiuto; calcolatrice compresa; secondo te qual'è il metodo migliore per risolverla e studiare dunque la concavità/convessità?
Beh, ad esempio puoi osservare che [tex]x^4+x^3-2x^2-2x-1[/tex] vale [tex]-1[/tex] in [tex]x=0[/tex] e va a [tex]+\infty[/tex] quando [tex]x\to +\infty[/tex], quindi almeno uno zero in [tex]]0,+\infty[[/tex] la tua derivata seconda ce l'ha.
Per sapere se è unico, il consiglio è prendere la funzione polinomiale [tex]x^4+x^3-2x^2-2x-1[/tex] e studiarsela separatamente in [tex]]0,+\infty[[/tex].
Ma in questo caso è comunque una gran rottura...
Potresti provare allora con un metodo grafico, tipo vedere dove si intersecano le curve [tex]x^4+x^3[/tex] e [tex]2x^2+2x+1[/tex], e questo mi pare un po' più fattibile.
Ad ogni buon conto, abbiamo una derivata prima che va a zero come [tex]\frac{1}{x}[/tex] quando [tex]x\to +\infty[/tex]; quindi, se dovessi proprio azzardare qualche giudizio qualitativo, direi che la tua funzione integrale va all'infinito in [tex]+\infty[/tex] come un logaritmo e perciò è concava intorno a [tex]+\infty[/tex].
Per sapere se è unico, il consiglio è prendere la funzione polinomiale [tex]x^4+x^3-2x^2-2x-1[/tex] e studiarsela separatamente in [tex]]0,+\infty[[/tex].
Ma in questo caso è comunque una gran rottura...
Potresti provare allora con un metodo grafico, tipo vedere dove si intersecano le curve [tex]x^4+x^3[/tex] e [tex]2x^2+2x+1[/tex], e questo mi pare un po' più fattibile.
Ad ogni buon conto, abbiamo una derivata prima che va a zero come [tex]\frac{1}{x}[/tex] quando [tex]x\to +\infty[/tex]; quindi, se dovessi proprio azzardare qualche giudizio qualitativo, direi che la tua funzione integrale va all'infinito in [tex]+\infty[/tex] come un logaritmo e perciò è concava intorno a [tex]+\infty[/tex].
Ok grazie 1000 per l'aiuto....
Prego.
Ah, col metodo grafico dovresti essere in grado di dire che [tex]f^{\prime \prime} (x)= 0[/tex] solo per [tex]x \approx \frac{3}{2}[/tex].
Ah, col metodo grafico dovresti essere in grado di dire che [tex]f^{\prime \prime} (x)= 0[/tex] solo per [tex]x \approx \frac{3}{2}[/tex].
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