Grafico funzione integrale
Salve a tutti, vorrei proporvi un esercizio proposto all'esame di analisi 1 del mio corso che mi sta dando alcuni problemi (uno studio di funzione non troppo banale). La consegna era più o meno questa
Si studi la seguente funzione e disegnane un grafico qualitativo:
$\int_0^x root(3)t*e^-tdt$
Io sono partito in questo modo:
$f \in C^1(RR)$, dove con questa notazione il mio professore intende una funzione derivabile (fino all'ordine 1) su tutto $RR$ e ivi continua. Dunque ho che $Domf=RR$ e la funzione non può ammettere ovviamente asintoti verticali, altrimenti verrebbe meno la continuità. Poi mi son calcolato $f(0)=0 hArr x=0$, e studiando la derivata prima, ovvero per il T.F.C, esattamente $f'(x)=e^-x*root(3)x$, attraverso dei veloci conti ho ottenuto che $f'(x)>0 rArr x>0, f'(x)<0 rArr x<0$ e quindi siccome la funzione decresce per $x<0$ e cresce per $x>0$ ne ho dedotto che $x=0$ è punto di minimo globale per $f$
Ho analizzato poi il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Qui è dove ho riscontrato molti problemi. Devo dunque calcolare:
$\lim_{x \to +oo}f(x)$. Essendo un integrale improprio ho cercato di risolverlo sfruttando i criteri di convergenza:
Ho notato che $1/e^-t <1/t^2, t \in [1,+oo[$ quindi ho maggiorato la mia funzione con $e^-t*t^(1/3)<1/t^2*t^(1/3)=1/t^(5/3)$ e siccome l'integrale di tipo $\int_1^(+oo)1/t^\alpha$ converge $hArr \alpha >1$ e siccome $\alpha=5/3>1 rArr \int_1^(+oo)1/t^(5/3)<+oo rArr \int_1^(+oo)e^-t*t^(1/3)<+oo$ (dove con la notazione $<+oo$ intendo che qualcosa converge ad un valore finito)
Dunque ho che $\lim_{x \to +oo}f(x)=k \in RR^+$ e dunque tale $f(x)=k$ è asintoto orizzontale per $f$
L'altro limite $\lim_{x \to -oo}f(x)$ purtroppo non so risolverlo e per questo vi chiedo aiuto (son quasi sicuro sia $+oo$, però è solo una supposizione basata sulla decrescenza della funzione).
Poi mi son calcolato la derivata seconda (vi risparmio questa parte tanto son solo calcoli) e ho ottenuto infine gli intervalli di convessità e concavità (perdonatemi i termini):
$f " è concava per "x\in ]1/3,+oo[ "e convessa altrove"$. In $x=1/3$ ho un punto di flesso, lì infatti la derivata seconda si annulla. La derivata seconda non esiste (non ha valore finito), ovvero $f''(0)=+oo " in "x=0$, quindi lì il grafico della derivata prima dovrebbe presentare un punto di flesso a tangente verticale(non che ciò mi interessi molto).
Se qualcuno potesse dirmi se lo studio che ho fatto è corretto, se ci sono precisazioni da fare o passaggi superflui e infine come calcolare quel limite sinistro.
P.S.Vi ringrazio in anticipo e colgo l'occasione per dirvi che ho superato analisi 1 a fine gennaio con un ottimo punteggio, e ciò è in buona parte dovuto al vostro aiuto e alla vostra disponibilità. Ve ne sono molto grato
Si studi la seguente funzione e disegnane un grafico qualitativo:
$\int_0^x root(3)t*e^-tdt$
Io sono partito in questo modo:
$f \in C^1(RR)$, dove con questa notazione il mio professore intende una funzione derivabile (fino all'ordine 1) su tutto $RR$ e ivi continua. Dunque ho che $Domf=RR$ e la funzione non può ammettere ovviamente asintoti verticali, altrimenti verrebbe meno la continuità. Poi mi son calcolato $f(0)=0 hArr x=0$, e studiando la derivata prima, ovvero per il T.F.C, esattamente $f'(x)=e^-x*root(3)x$, attraverso dei veloci conti ho ottenuto che $f'(x)>0 rArr x>0, f'(x)<0 rArr x<0$ e quindi siccome la funzione decresce per $x<0$ e cresce per $x>0$ ne ho dedotto che $x=0$ è punto di minimo globale per $f$
Ho analizzato poi il comportamento della funzione agli estremi del dominio. Qui è dove ho riscontrato molti problemi. Devo dunque calcolare:
$\lim_{x \to +oo}f(x)$. Essendo un integrale improprio ho cercato di risolverlo sfruttando i criteri di convergenza:
Ho notato che $1/e^-t <1/t^2, t \in [1,+oo[$ quindi ho maggiorato la mia funzione con $e^-t*t^(1/3)<1/t^2*t^(1/3)=1/t^(5/3)$ e siccome l'integrale di tipo $\int_1^(+oo)1/t^\alpha$ converge $hArr \alpha >1$ e siccome $\alpha=5/3>1 rArr \int_1^(+oo)1/t^(5/3)<+oo rArr \int_1^(+oo)e^-t*t^(1/3)<+oo$ (dove con la notazione $<+oo$ intendo che qualcosa converge ad un valore finito)
Dunque ho che $\lim_{x \to +oo}f(x)=k \in RR^+$ e dunque tale $f(x)=k$ è asintoto orizzontale per $f$
L'altro limite $\lim_{x \to -oo}f(x)$ purtroppo non so risolverlo e per questo vi chiedo aiuto (son quasi sicuro sia $+oo$, però è solo una supposizione basata sulla decrescenza della funzione).
Poi mi son calcolato la derivata seconda (vi risparmio questa parte tanto son solo calcoli) e ho ottenuto infine gli intervalli di convessità e concavità (perdonatemi i termini):
$f " è concava per "x\in ]1/3,+oo[ "e convessa altrove"$. In $x=1/3$ ho un punto di flesso, lì infatti la derivata seconda si annulla. La derivata seconda non esiste (non ha valore finito), ovvero $f''(0)=+oo " in "x=0$, quindi lì il grafico della derivata prima dovrebbe presentare un punto di flesso a tangente verticale(non che ciò mi interessi molto).
Se qualcuno potesse dirmi se lo studio che ho fatto è corretto, se ci sono precisazioni da fare o passaggi superflui e infine come calcolare quel limite sinistro.
P.S.Vi ringrazio in anticipo e colgo l'occasione per dirvi che ho superato analisi 1 a fine gennaio con un ottimo punteggio, e ciò è in buona parte dovuto al vostro aiuto e alla vostra disponibilità. Ve ne sono molto grato
Risposte
"SteezyMenchi":
L'altro limite $\lim_{x \to -oo}f(x)$ purtroppo non so risolverlo e per questo vi chiedo aiuto (son quasi sicuro sia $+oo$, però è solo una supposizione basata sulla decrescenza della funzione).
E' anche più semplice. $lim_(x->-oo) f'(x)=lim_(x->oo) f'(-x)=-e^x x^(1/3)=-oo$
Riassumendo, abbiamo una una F la cui pendenza va a $-oo$. Quindi la funzione è sempre discendente fino a $x=0$ (e dalla derivata seconda sappiamo anche è concava verso l'alto)
"SteezyMenchi":
La derivata seconda non esiste (non ha valore finito), ovvero $f''(0)=+oo " in "x=0$, quindi lì il grafico della derivata prima dovrebbe presentare un punto di flesso a tangente verticale
Questo non ha senso. La derivata seconda ci dice per $x<1/3$ la concavità (dove è definita) è sempre positiva.
P.S. Congratulazioni per l'esame!
Ciao SteezyMenchi,
Non so se hai già visto la funzione $\Gamma$, io te la scrivo poi se non l'hai ancora vista pace:
$ f(x) = \int_0^x root(3)t cdot e^-t \text{d}t = \int_0^x t^{1/3} e^-t \text{d}t = \int_0^x t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t = \int_0^{+\infty} t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t - \int_x^{+\infty} t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t = $
$ = \Gamma(4/3) - \Gamma(4/3, x) $
Quindi ovviamente si ha $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \Gamma(4/3) ~~ 0,89298 $
Mi associo alle congratulazioni di Bokonon per l'ottimo risultato ottenuto in Analisi 1!
"SteezyMenchi":
(dove con la notazione $ < +\infty$ intendo che qualcosa converge ad un valore finito)
Non so se hai già visto la funzione $\Gamma$, io te la scrivo poi se non l'hai ancora vista pace:
$ f(x) = \int_0^x root(3)t cdot e^-t \text{d}t = \int_0^x t^{1/3} e^-t \text{d}t = \int_0^x t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t = \int_0^{+\infty} t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t - \int_x^{+\infty} t^{4/3 - 1} e^-t \text{d}t = $
$ = \Gamma(4/3) - \Gamma(4/3, x) $
Quindi ovviamente si ha $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \Gamma(4/3) ~~ 0,89298 $
Mi associo alle congratulazioni di Bokonon per l'ottimo risultato ottenuto in Analisi 1!
Non so se hai già visto la funzione $Γ$, io te la scrivo poi se non l'hai ancora vista pacePurtroppo non ho mai visto tale funzione Pillo, ti ringrazio comunque.
Una sola domanda per Bokonon: cosa ci permette di operare tale cambio di segno, è un'operazione che finora non ho mai incontrato né la ho mai utilizzata (a prima vista pensavo lo avessi fatto per ragioni di simmetria invece non è così).
$lim_(x->-oo) f'(x)=lim_(x->oo) f'(-x)=-e^x x^(1/3)=-oo$
Il resto del ragionamento che hai scritto dopo questo calcolo è uguale a ciò che ho fatto anche io perciò tutto chiaro.
P.S. Grazie mille a tutti e due
È una sostituzione , se $x \to -\infty$ segue che $-x \to \infty$ (si giustifica rigorosamente col teorema del limite di una funzione composta).
Perfetto grazie mille Mephlip
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