Grafico Funzione a tre o più variabili.
Salve a tutti, premesso che potrà sembrare una domanda banale e probabilmente lo è, se ho una funzione in una variabile $y=f(x)$, ho due assi, uno per la $y$ variabile dipendente e uno per la $x$ variabile indipendente, quindi un grafico piano.
In due variabili $z=f(x,y)$, ho tre assi e un grafico tridimensionale con $z$ variabile dipendente.
Ma se ho tre o più variabili?gli assi sono sempre tre ma non ho capito a questo punto chi sono le variabili indipendenti e quali le dipendenti??
P.S. mi riferisco a $x$,$y$,$z\in \mathbb{R}$
Grazie in anticipo.
In due variabili $z=f(x,y)$, ho tre assi e un grafico tridimensionale con $z$ variabile dipendente.
Ma se ho tre o più variabili?gli assi sono sempre tre ma non ho capito a questo punto chi sono le variabili indipendenti e quali le dipendenti??
P.S. mi riferisco a $x$,$y$,$z\in \mathbb{R}$
Grazie in anticipo.
Risposte
Chiama $w=f(x,y,z) $ le variabili indipendenti sono $x,y,z $ quella dipendente è $w$.
Avresti bisogno di 4 assi , puoi solo disegnare il dominio della funzione ma non l'andamento della funzione.
Avresti bisogno di 4 assi , puoi solo disegnare il dominio della funzione ma non l'andamento della funzione.
Perfetto, grazie della risposta. Discostandomi leggermente dal tema se volessi disegnare il grafico di una funzione di variabile complessa?
Ad esempio:
$f(z)=z^2$ , $z \in \mathbb{C}$
so che è possibile sfruttare l'isomorfismo che lega il campo complesso ad $ \mathbb{R^2} $ considerando che $Re{z}, Im{z} \in \mathbb{R}$ ma non ho capito come.
Forse non sarà essenziale il grafico, ma conoscerlo credo mi aiuti a capire con "cosa" ho a che fare.
Ad esempio:
$f(z)=z^2$ , $z \in \mathbb{C}$
so che è possibile sfruttare l'isomorfismo che lega il campo complesso ad $ \mathbb{R^2} $ considerando che $Re{z}, Im{z} \in \mathbb{R}$ ma non ho capito come.
Forse non sarà essenziale il grafico, ma conoscerlo credo mi aiuti a capire con "cosa" ho a che fare.
Sia $z=x+iy $ la variabile complessa e $w = f(z) $ una funzione complessa di variabile complessa.La $f(z) $ sarà sempre scomponibile in una parte reale e in una parte immaginaria, così : $w=f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y) $ essendo $u , v $ funzioni reali, di variabili reali .$Re[f(z)]=u(x,y) ;Im [f(z)]=v(x,y) $
Ad esempio $w=f(z)= z^2 =(x+iy)^2= x^2-y^2 +i*2xy $ ed è quindi $u(x,y)= x^2-y^2 ;v(x,y) =2xy$.
Un modo per rappresentare una funzione complessa di variabile complessa consiste nel tracciare una famiglia di curve nel piano $z $ e nel secondo piano $w $ tracciare le curve trasformate secondo un'assegnata funzione $f(z)$.
QAui è spiegato bene -in inglese
https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html
Ad esempio $w=f(z)= z^2 =(x+iy)^2= x^2-y^2 +i*2xy $ ed è quindi $u(x,y)= x^2-y^2 ;v(x,y) =2xy$.
Un modo per rappresentare una funzione complessa di variabile complessa consiste nel tracciare una famiglia di curve nel piano $z $ e nel secondo piano $w $ tracciare le curve trasformate secondo un'assegnata funzione $f(z)$.
QAui è spiegato bene -in inglese
https://www.pacifict.com/ComplexFunctions.html
Ecco una galleria di grafici di funzioni di variabile complessa
http://people.ciram.unibo.it/~barozzi/M ... Compl.html
http://people.ciram.unibo.it/~barozzi/M ... Compl.html
Innanzitutto grazie ancora per la risposta.
Diciamo che in linea di massima ho capito come si procede, però ho ancora qualche dubbio con riferimento al link che mi hai inviato:
"- We can represent the complex value of the function as a vector, drawing f(x+iy) as a 2D vector plot.
- We can consider the complex function as mapping from regions in (x,y) to regions in (u,v) and show how this mapping morphs lines and pictures."
Questi ultimi due metodi non li ho capiti, o meglio non li riesco "a leggere" così come si dovrebbe fare con un grafico per trarne considerazioni generali(più o meno approssimate) sull'andamento della funzione.
l'ultimo dovrebbe essere proprio quello che mi suggerivi:
Diciamo che in linea di massima ho capito come si procede, però ho ancora qualche dubbio con riferimento al link che mi hai inviato:
"- We can represent the complex value of the function as a vector, drawing f(x+iy) as a 2D vector plot.
- We can consider the complex function as mapping from regions in (x,y) to regions in (u,v) and show how this mapping morphs lines and pictures."
Questi ultimi due metodi non li ho capiti, o meglio non li riesco "a leggere" così come si dovrebbe fare con un grafico per trarne considerazioni generali(più o meno approssimate) sull'andamento della funzione.
l'ultimo dovrebbe essere proprio quello che mi suggerivi:
"Camillo":
Un modo per rappresentare una funzione complessa di variabile complessa consiste nel tracciare una famiglia di curve nel piano z e nel secondo piano w tracciare le curve trasformate secondo un'assegnata funzione f(z).
Considero il caso di Conformal mapping , il secondo del tuo post.
Sia $w=f(z)= z^2 = u(x,y)+iv(x,y)=x^2-y^2+i(2xy) $
Vediamo ad es. come si trasformano dal piano $z $ al piano $w$ dei segmenti paralleli all'asse $x$ (con $0<=x<=1 ; 0<=y<=1 )$ situati nel 1Q.
Considero ora $y=1 $ e cerco di vedere come si trasforma .Ottengo $ u=x^2-1 ; v= 2x $
Elimino $x $ e stabilisco una relazione diretta tra $u , v $ che poi vado a plottare nel piano $w$.
Si ha : $ u=v^2/4-1 $ che è una parabola.
Ora considero $y=1/2 $ e quindi $u=x^2-1/4 ; v=x $ da cui $ u=v^2-1/4 $ sempre una parabola .
etc etc
Si trasformano rette parallele in parabole
Se vai a vedere
http://people.ciram.unibo.it/~barozzi/M ... Compl.html
trovi tutto disegnato per bene..
Sia $w=f(z)= z^2 = u(x,y)+iv(x,y)=x^2-y^2+i(2xy) $
Vediamo ad es. come si trasformano dal piano $z $ al piano $w$ dei segmenti paralleli all'asse $x$ (con $0<=x<=1 ; 0<=y<=1 )$ situati nel 1Q.
Considero ora $y=1 $ e cerco di vedere come si trasforma .Ottengo $ u=x^2-1 ; v= 2x $
Elimino $x $ e stabilisco una relazione diretta tra $u , v $ che poi vado a plottare nel piano $w$.
Si ha : $ u=v^2/4-1 $ che è una parabola.
Ora considero $y=1/2 $ e quindi $u=x^2-1/4 ; v=x $ da cui $ u=v^2-1/4 $ sempre una parabola .
etc etc
Si trasformano rette parallele in parabole
Se vai a vedere
http://people.ciram.unibo.it/~barozzi/M ... Compl.html
trovi tutto disegnato per bene..
grazie mille, ora mi è chiaro il "come".
Resta ancora un pò in ombra il "perchè",cioè l'utilità di una rappresentazione del genere.
Ad esempio se io disegno il grafico di $y=|x|$, posso notare che presenta un punto angoloso nell'origine.
Da una mappa conforme posso trarre qualche informazione a "colpo d'occhio"?
Grazie per la pazienza.
Resta ancora un pò in ombra il "perchè",cioè l'utilità di una rappresentazione del genere.
Ad esempio se io disegno il grafico di $y=|x|$, posso notare che presenta un punto angoloso nell'origine.
Da una mappa conforme posso trarre qualche informazione a "colpo d'occhio"?
Grazie per la pazienza.
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