Grafico funzione

[oiraD93]

Salve ragazzi.
Domanda banale: in che modo devo ragionare quando mi viene chiesto di disegnare il grafico della funzione sen (1/x) ?

[ciampax]

Facendone lo studio, no? Non capisco il senso della domanda.

[oiraD93]

in particolare come traccio il grafico per valori molto piccoli della x?

[ciampax]

Bé, rifletti: cosa puoi dire riguardo al

[math]\lim_{x\to 0} f(x)=?[/math]

Quanto vale? E questo cosa ti suggerisce?

[oiraD93]

So già che il seno è una funzione continua , quindi sia a a 0 che ad infinito il limite risulterà finito.
Quello che non sono in grado di fare è tracciare il grafico in prossimità dello zero

[ciampax]

E mica è vero! Il dominio della funzione è

[math]D=(-\infty,0)\cup(0,+\infty)[/math]

, per cui la funzione non è definita in zero. Come fa ad essere continua?

[oiraD93]

Scusa , è vero , mi sono confuso.
Il punto è questo : per x tendente a 0 la funzione avrà sempre un limite finito , ma questo nel grafico come lo rappresento?
In che modo disegno il grafico in prossimità dello zero?

[ciampax]

Non ci siamo. Allora, eseguiamo uno studio di funzione completo e vediamo cosa accade. Per il dominio

[math]D=(-\infty,0)\cup(+\infty,0)[/math]

. Ora, osserviamo che la funzione non è periodica: se lo fosse dovrebbe esistere

[math]T>0[/math]

tale che

[math]f(x+T)=f(x)[/math]

, e quindi

[math]\sin\frac{1}{x+T}=\sin\frac{1}{x}[/math]

. Tuttavia risolvendo rispetto a

[math]T[/math]

si ha

[math]\frac{1}{x+T}=\frac{1}{x}+2k\pi,\qquad \frac{1}{x+T}=\pi-\frac{1}{x}+2k\pi[/math]

da cui

[math]T=-\frac{2k\pi x^2}{1+2k\pi x},\qquad T=\frac{2x-(2k+1)\pi x^2}{(2k+1)\pi x-1}[/math]

che non sono accettabili perché dipendenti da x (T deve essere un numero fissato).

Per i limiti:

[math]\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\sin(0)=0[/math]

per cui la retta

[math]y=0[/math]

è un asintoto orizzontale. Inoltre, poiché

[math]\lim_{x\to 0} 1/x=\infty[/math]

, il limite

[math]\lim_{x\to 0} f(x)[/math]

non esiste. Questo implica che, vicino all'origine, la funzione seno sarà sempre oscillante.

Possiamo osservare che l'equazione

[math]f(x)=0[/math]

ha come soluzioni

[math]1/x=k\pi\ \Rightarrow\ x=\frac{1}{k\pi}[/math]

, per cui ci sono infinite intersezioni negli intervalli

[math](-1/\pi,0)\cup(0,1/\pi)[/math]

(infatti, poiché

[math]k\in\mathbb{Z},\ k\ne 0[/math]

si ricava che

[math]|k|\ge 1\ \Rightarrow\ |k|\pi\ge \pi\ \Rightarrow\ \frac{1}{|k|\pi}\le\frac{1}{\pi}[/math]

da cui la condizione scritta).

Il grafico, allora, sarà del tipo illustrato in figura, dove la parte centrale rappresenta infinite oscillazioni sempre più ravvicinate della funzione.