Grafico equazione differenziale

[Aletzunny1]

ho questa funziona $\{(y'=[(y^3-1)(x-2)]/[y(x^2+y^2+1)]),(y(0)=alpha):}$, $alpha !=0$, di cui devo completarne lo studio(iniziato a lezione) per disegnarne il grafico ma ho alcuni dubbi che riporto qui sotto.

La parte mancante è la sezione in cui $x<0$ (tranne anche per $x>0$ nel caso $alpha <0$):

Ora $y'>0$ se $x>2 ^^ y>1$ oppure $02 ^^ y<0$ ;

Da qui a lezione abbiamo distinto i vari casi, sapendo che $y(x)=1$ è soluzione, tra $alpha >1$ o $0
ora $y(x)=alpha + \int_0^x [(y^3(t)-1)(t-2)]/[y(t)(t^2+y^(t)+1)]dt$

sia $alpha >1$: se esistesse $a$ tale che se $x->a^(+)$ allora $y(x)->+infty$ dovrebbe accadere anche che $y'(x)->+infty$ (non ho capito questo fatto, perchè anche $y'$ dovrebbe andare a $+infty$?) ma $y'(x)->(a-2)$ e dunque $y(x)$ non ha asintoto verticale.

Supponiamo allora che $y(x)->L$ per $x->-infty$, allora $y'->0$ ( anche qui non ho capito a cosa serve questo fatto). Ora per $x->-infty$ si ha che $[(y^3(t)-1)(t-2)]/[y(t)(t^2+y^(t)+1)] ~ k/t$ che non è integrabile e dunque $y(x)->+infty$, da cui l'assurdo.
Dunque necessariamente $y(x)->+infty$ per $x->-infty$.

se $0a^(-)) y(x)=0^+$

se $a<0$ analogamente a prima $y(x)$ non può tendere nè a $+infty$ nè a $L$ (vale sempre l'assurdo dell'integrale) e dunque esistono $a$ e $b$ tali che $lim_(x->a^+) y(x)=0^-$ e $lim_(x->b^-) y(x)=0^-$

Qualcuno potrebbe spiegarmi se il ragionamento che ho cercato di fare (seguendo le orme della prima parte fatta a lezione) ha senso e spiegarmi i dubbi che ho evidenziato?
grazie

[gugo82]

Prima di andarti ad impelagare in ragionamenti sui limiti, ti conviene sempre prima fare uno studio del segno del secondo membro e riportare i risultati su un diagramma.
Fatto ciò, il più delle volte il comportamento delle soluzioni appare chiaro.

In particolare, la EDO è definita in $Omega := RR xx (RR - \{0\})$ ed il secondo membro:

$f(x,y) := ((y^3 - 1)(x - 2))/(y(x^2 + y^2 + 1))$

è una funzione $C^oo(Omega)$; pertanto, sei in regime di unicità locale e la soluzione massimale del tuo PdC (che esiste ed è unica) è funzione di classe $C^oo$ nel proprio intervallo di definizione.
Ora, hai $f(x,y) > 0$ [risp. $=0$, $<0$] per $\{(x>2), (y > 1 vv y<0):}$ oppure $\{(x<2), ( 02),(01 vv y<0):}$], sicché ottieni il seguente diagramma di monotonia:

[asvg]xmin=-2; xmax=6; ymin=-1.5; ymax =2.5;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,0],[7,0]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth =2; line([-3,1],[7,1]); stroke="black"; line([2,-2.5],[2,3.5]);
marker="arrow"; strokewidth=1;
line([-2.5,0.25],[-1.5,0.75]); line([-1,0.25],[0,0.75]); line([0.5,0.25],[1.5,0.75]);
line([2.5,0.75],[3.5,0.25]); line([4,0.75],[5,0.25]); line([5.5,0.75],[6.5,0.25]);
line([-2.5,-0.75],[-1.5,-1.25]); line([-1,-0.75],[0,-1.25]); line([0.5,-0.75],[1.5,-1.25]);
line([2.5,-1.25],[3.5,-0.75]); line([4,-1.25],[5,-0.75]); line([5.5,-1.25],[6.5,-0.75]);
line([-2.5,2.25],[-1.5,1.75]); line([-1,2.2],[0,1.75]); line([0.5,2.25],[1.5,1.75]);
line([2.5,1.75],[3.5,2.25]); line([4,1.75],[5,2.25]); line([5.5,1.75],[6.5,2.25]);[/asvg]
in cui la soluzione stazionaria $y^**(x)=1$ è in azzurro e la retta di estremi $x=2$ in nero.

Dal diagramma si vede subito che per $0 +-oo) y(x;0,alpha) = 0$.[nota]Qui e nel seguito, osserva che i limiti esistono perché la soluzione è monotona![/nota]
Analogamente, si vede che per $alpha <0$ il grafico della soluzione massimale $y(x;0.alpha)$ rimane confinato in $RR xx ]-oo,0[$, che la soluzione ha minimo assoluto in $2$ e che, essendo definita globalmente, ha limiti $lim_(x -> +-oo) y(x;0,alpha) = 0$.
Per $alpha =1$ si ottiene la soluzione stazionaria $y^**(x)$, i.e. $y(x;0,1) = 1$.
Per $alpha >1$ potrebbe esserci un’esplosione in tempo finito (sia “in avanti”, cioè a destra di $0$, sia “all’indietro”, cioè a sinistra di $0$). Se supponi che esista $X$ tale che $lim_(x -> X^- ) y(x;0,alpha) = +oo$[nota]Osserva che, per monotonia, il limite può essere solo $+oo$ e che $X >2$![/nota], hai anche:

$lim_(x -> X^- ) y^\prime(x;0,alpha) = lim_(x -> X^- ) f(x,y(x;0,alpha)) = X - 2 >0$;

dunque, per il teorema del marchese avresti:

$0=lim_(x -> X^- ) (x-X)/(y(x;0,alpha)) \stackrel{H}{=} lim_(x->X^- ) 1/(y^\prime(x;0,alpha)) = 1/(X-2) >0$,

assurdo. Perciò la tua funzione non può esplodere in tempo finito in avanti; analogo discorso dall’altro lato.

[Aletzunny1]

"gugo82":Prima di andarti ad impelagare in ragionamenti sui limiti, ti conviene sempre prima fare uno studio del segno del secondo membro e riportare i risultati su un diagramma.
Fatto ciò, il più delle volte il comportamento delle soluzioni appare chiaro.

In particolare, la EDO è definita in $Omega := RR xx (RR - \{0\})$ ed il secondo membro:

$f(x,y) := ((y^3 - 1)(x - 2))/(y(x^2 + y^2 + 1))$

è una funzione $C^oo(Omega)$; pertanto, sei in regime di unicità locale e la soluzione massimale del tuo PdC (che esiste ed è unica) è funzione di classe $C^oo$ nel proprio intervallo di definizione.
Ora, hai $f(x,y) > 0$ [risp. $=0$, $<0$] per $\{(x>2), (y > 1 vv y<0):}$ oppure $\{(x<2), ( 02),(01 vv y<0):}$], sicché ottieni il seguente diagramma di monotonia:

[asvg]xmin=-2; xmax=6; ymin=-1.5; ymax =2.5;
axes("","");
stroke="red"; line([-3,0],[7,0]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth =2; line([-3,1],[7,1]); stroke="black"; line([2,-2.5],[2,3.5]);
marker="arrow"; strokewidth=1;
line([-2.5,0.25],[-1.5,0.75]); line([-1,0.25],[0,0.75]); line([0.5,0.25],[1.5,0.75]);
line([2.5,0.75],[3.5,0.25]); line([4,0.75],[5,0.25]); line([5.5,0.75],[6.5,0.25]);
line([-2.5,-0.75],[-1.5,-1.25]); line([-1,-0.75],[0,-1.25]); line([0.5,-0.75],[1.5,-1.25]);
line([2.5,-1.25],[3.5,-0.75]); line([4,-1.25],[5,-0.75]); line([5.5,-1.25],[6.5,-0.75]);
line([-2.5,2.25],[-1.5,1.75]); line([-1,2.2],[0,1.75]); line([0.5,2.25],[1.5,1.75]);
line([2.5,1.75],[3.5,2.25]); line([4,1.75],[5,2.25]); line([5.5,1.75],[6.5,2.25]);[/asvg]
in cui la soluzione stazionaria $y^**(x)=1$ è in azzurro e la retta di estremi $x=2$ in nero.

Dal diagramma si vede subito che per $0 +-oo) y(x;0,alpha) = 0$.[nota]Qui e nel seguito, osserva che i limiti esistono perché la soluzione è monotona![/nota]
Analogamente, si vede che per $alpha <0$ il grafico della soluzione massimale $y(x;0.alpha)$ rimane confinato in $RR xx ]-oo,0[$, che la soluzione ha minimo assoluto in $2$ e che, essendo definita globalmente, ha limiti $lim_(x -> +-oo) y(x;0,alpha) = 0$.
Per $alpha =1$ si ottiene la soluzione stazionaria $y^**(x)$, i.e. $y(x;0,1) = 1$.
Per $alpha >1$ potrebbe esserci un’esplosione in tempo finito (sia “in avanti”, cioè a destra di $0$, sia “all’indietro”, cioè a sinistra di $0$). Se supponi che esista $X$ tale che $lim_(x -> X^- ) y(x;0,alpha) = +oo$[nota]Osserva che, per monotonia, il limite può essere solo $+oo$ e che $X >2$![/nota], hai anche:

$lim_(x -> X^- ) y^\prime(x;0,alpha) = lim_(x -> X^- ) f(x,y(x;0,alpha)) = X - 2 >0$;

dunque, per il teorema del marchese avresti:

$0=lim_(x -> X^- ) (x-X)/(y(x;0,alpha)) \stackrel{H}{=} lim_(x->X^- ) 1/(y^\prime(x;0,alpha)) = 1/(X-2) >0$,

assurdo. Perciò la tua funzione non può esplodere in tempo finito in avanti; analogo discorso dall’altro lato.

Grazie, cosi in effetti è abbastanza chiaro!

Ho solo un ultimo dubbio... ciò che ho scritto all' inizio sulla derivata nel caso ci fosse asintoto obliquo da dove deriva? Perché anche $y'(x)->+infty$?
Grazie

[pilloeffe]

@Aletzunny:
[ot]Una cosa che volevo dirti già da un po' di tempo: perché rispondi sempre col pulsante "CITA invece che correttamente col pulsante RISPONDI?
Salvo rari casi, non è necessario citare tutta la risposta di chi te l'ha fornita ed anzi così facendo si appesantisce inutilmente la lettura del thread... [/ot]