Grafico di una Funzione Integrale
Domanda/e in generale...
Se io voglio disegnare una funzione del tipo:
$F(x) = \int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$
Per trovare il dominio della F(x) vado a vedere dove è definita la f(t) rispetto ad $alpha(x)$ e $beta(x)$... ed è semplice anche per via grafica se $alpha(x)$ e $beta(x)$ non sono impossibili!
A questo punto per disegnarmela vado a vedere i limiti agli estremi del campo di definizione e quindi mi ritrovo con degli integrali con agli estremi due numeri o al massimo (+o-)oo... bene qui a me basta sapere se sono maggiori o minori di zero per avere un'idea di dove stanno sul grafico... ma come faccio a capire se sono maggiori o minori di zero??
vi faccio un esempio:
$\int_(-pi/2)^(0) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è minore di zero ma perchè?
$\int_(0)^(-oo) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è maggiore di zero ma perchè?
$\int_(arctg(1/6))^(6) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è -oo ma perchè?
$\int_(pi/2)^(0) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è maggiore di zero ma perchè??
In questi casi dove non conosco le primitive cosa devo fare anche solo x farmi un'idea???
inoltre a quel punto mi serve la derivata F'(x) ma diventa una cosa improponibile senza un pc studiare il grafico!! ci sono metodi più semplici??
grazie!!
Se io voglio disegnare una funzione del tipo:
$F(x) = \int_(alpha(x))^(beta(x)) f(t)dt$
Per trovare il dominio della F(x) vado a vedere dove è definita la f(t) rispetto ad $alpha(x)$ e $beta(x)$... ed è semplice anche per via grafica se $alpha(x)$ e $beta(x)$ non sono impossibili!
A questo punto per disegnarmela vado a vedere i limiti agli estremi del campo di definizione e quindi mi ritrovo con degli integrali con agli estremi due numeri o al massimo (+o-)oo... bene qui a me basta sapere se sono maggiori o minori di zero per avere un'idea di dove stanno sul grafico... ma come faccio a capire se sono maggiori o minori di zero??
vi faccio un esempio:
$\int_(-pi/2)^(0) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è minore di zero ma perchè?
$\int_(0)^(-oo) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è maggiore di zero ma perchè?
$\int_(arctg(1/6))^(6) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è -oo ma perchè?
$\int_(pi/2)^(0) 1/(sqrt(|t^2-1|)*(t-6)) dt$ è maggiore di zero ma perchè??
In questi casi dove non conosco le primitive cosa devo fare anche solo x farmi un'idea???
inoltre a quel punto mi serve la derivata F'(x) ma diventa una cosa improponibile senza un pc studiare il grafico!! ci sono metodi più semplici??
grazie!!
Risposte
Io sinceramente non ho capito nulla...l'esempio dovrebbe essere d'aiuto?? Perchè in realtà è di una confusione unica!
L'integranda dipende sia da \( x \) che da \( t \)? Se integri in \( dt \) la parte in \( x \) è una costante!
L'integranda dipende sia da \( x \) che da \( t \)? Se integri in \( dt \) la parte in \( x \) è una costante!
hai ragione!! l'integranda dipende da t ma ho sbagliato a scrivere la prima ed ho copiato le altre male!!! 
correggo!!
correggo!!
Allora... in generale quando devi studiare una funzione integrale, non ti serve affatto conoscere la primitiva, anche perché spesso calcolarla è impossibile, come dici tu...
Piuttosto devi vederla in questo modo: la funzione integrale F(x) è una funzione di cui conosci già la derivata, ossia f(x).
In realtà, la formula completa per la derivata sarebbe questa:
$ F(x) = int_(a(x))^(b(x)) f(t)dt rArr F'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) $
Tuttavia spesso le funzioni agli estremi sono b(x) = x con derivata 1, a(x)=costante con derivata 0 e la formula si riduce a F'(x) = f(x).
I capisaldi del ragionamento sono:
1) Se a è l'estremo di integrazione fissato, allora F(a)=0
2) Se la funzione f(t) è pari, allora F(x) è dispari, e viceversa; questo controllo a volte ti permette di evitare lo studio di una parte del grafico.
3) DOMINIO E ANDAMENTI ASINTOTICI: F(x) è definita e continua nel più ampio intervallo in cui f(x) è integrabile. Quindi il dominio di F lo devi determinare in base all'integrabilità di f agli estremi del suo dominio (di f
). Ad esempio, se f non è definita in un punto non all'infinito, devi controllare che f sia integrabile in quel punto; se lo è, allora il punto appartiene al dominio di F, altrimenti neanche F è definita in quel punto.
Invece all'infinito le cose cambiano: se f è integrabile per $ t -> oo $ , allora F avrà all'infinito un asintoto orizzontale; altrimenti, se f non è integrabile all'infinito, F sarà divergente e tenderà a $ +-oo $
Per controllare l'integrabilità in un punto o all'infinito puoi usare gli andamenti asintotici di f: per il criterio del confronto asintotico, infatti, se f~g in un intorno $ U(x_0) $ allora f è integrabile in $ U(x_0) $ se e solo se anche g lo è.
NOTA BENE: se per caso trovi che f non è integrabile in un punto non all'infinito, allora il dominio di F si ferma a quel punto, anche se dopo f è ancora integrabile. Ad esempio: la funzione $ F = int_(2)^(x) 1/(t-4)^3dt $ è integrabile da $ -oo $ a +2, ma per $ t->4^- $ l'esponente 3 al denominatore fa divergere l'integrale a $ -oo $; in questo punto f non è integrabile, e il dominio di F si interrompe al punto 4 : Dom(F) = $ (-oo,4) $ , indipendentemente da cosa fa la f più avanti.
4) DERIVATE: F'(x) = f(x) che userai per studiare la monotonia, massimi e minimi. F''(x) = f'(x), che userai (eventualmente) per studiare i flessi.
Valgono ovviamente le stesse regoline delle derivate ordinarie: se f ha una discontinuità di prima specie in un punto, allora F avrà un punto angoloso; se f tende a $ -oo $ da una parte e a $ +oo $ dall'altra in un punto, F avrà una cuspide in quel punto, eccetera per i flessi.
A questo punto ti rimangono da cercare eventuali asintoti obliqui con la stessa formula che si usa per le funzioni "ordinarie", e dovresti avere tutti gli elementi per tracciare il grafico!
Piuttosto devi vederla in questo modo: la funzione integrale F(x) è una funzione di cui conosci già la derivata, ossia f(x).
In realtà, la formula completa per la derivata sarebbe questa:
$ F(x) = int_(a(x))^(b(x)) f(t)dt rArr F'(x) = f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x) $
Tuttavia spesso le funzioni agli estremi sono b(x) = x con derivata 1, a(x)=costante con derivata 0 e la formula si riduce a F'(x) = f(x).
I capisaldi del ragionamento sono:
1) Se a è l'estremo di integrazione fissato, allora F(a)=0
2) Se la funzione f(t) è pari, allora F(x) è dispari, e viceversa; questo controllo a volte ti permette di evitare lo studio di una parte del grafico.
3) DOMINIO E ANDAMENTI ASINTOTICI: F(x) è definita e continua nel più ampio intervallo in cui f(x) è integrabile. Quindi il dominio di F lo devi determinare in base all'integrabilità di f agli estremi del suo dominio (di f
). Ad esempio, se f non è definita in un punto non all'infinito, devi controllare che f sia integrabile in quel punto; se lo è, allora il punto appartiene al dominio di F, altrimenti neanche F è definita in quel punto.Invece all'infinito le cose cambiano: se f è integrabile per $ t -> oo $ , allora F avrà all'infinito un asintoto orizzontale; altrimenti, se f non è integrabile all'infinito, F sarà divergente e tenderà a $ +-oo $
Per controllare l'integrabilità in un punto o all'infinito puoi usare gli andamenti asintotici di f: per il criterio del confronto asintotico, infatti, se f~g in un intorno $ U(x_0) $ allora f è integrabile in $ U(x_0) $ se e solo se anche g lo è.
NOTA BENE: se per caso trovi che f non è integrabile in un punto non all'infinito, allora il dominio di F si ferma a quel punto, anche se dopo f è ancora integrabile. Ad esempio: la funzione $ F = int_(2)^(x) 1/(t-4)^3dt $ è integrabile da $ -oo $ a +2, ma per $ t->4^- $ l'esponente 3 al denominatore fa divergere l'integrale a $ -oo $; in questo punto f non è integrabile, e il dominio di F si interrompe al punto 4 : Dom(F) = $ (-oo,4) $ , indipendentemente da cosa fa la f più avanti.
4) DERIVATE: F'(x) = f(x) che userai per studiare la monotonia, massimi e minimi. F''(x) = f'(x), che userai (eventualmente) per studiare i flessi.
Valgono ovviamente le stesse regoline delle derivate ordinarie: se f ha una discontinuità di prima specie in un punto, allora F avrà un punto angoloso; se f tende a $ -oo $ da una parte e a $ +oo $ dall'altra in un punto, F avrà una cuspide in quel punto, eccetera per i flessi.
A questo punto ti rimangono da cercare eventuali asintoti obliqui con la stessa formula che si usa per le funzioni "ordinarie", e dovresti avere tutti gli elementi per tracciare il grafico!
grazieeeeee... questi tuoi consigli me li stampo bene in testa... sei stato CHIARISSIMO ed utilissimo!!!
dovrei aver capito... posto un esercizio x vedere se ci ho preso fino in fondo...
$F(x) = \int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt$
so che la $x!=0$ altrimenti non posso farlo... (vedi l'estremo)
cerco il dominio e vedo che è definita per $t!=-1$ quindi continua e integrabile tolto in quel punto...
cosa succede nel punto -1?
$lim_(t->-1)((t^2* arctg t)/(t+1)) = pm oo$ quindi integtale improprio divergente (ordine 1)
quindi non posso integrare in -1 e gli estremi devono stare o da una parte o dall'altra:
$\{(x<-1),(x+1/x < -1):}$
unito a
$\{(x> -1),(x+1/x > -1):}$
qui l'ho risolto per via grafica (ascissa x, ordinata t) disegnando x e 1+1/x e trovando l'"area" di dove posso andare tra una funzione all'altra senza passare in t=-1...
Il dominio è quindi è $(-oo,-1)U(0,+oo)$
qui ho trovato i limiti agli estremi del campo:
$lim_(x->0^+)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(0)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)=+oo$
perchè $lim_(t->+oo)((t^2* arctg t)/(t+1)) = +oo$ diverge perchè $!=0$
$lim_(x->-1^-)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(-1)^(-2) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)=-oo$
perchè $lim_(t->-1^-)((t^2* arctg t)/(t+1)) = +oo$ (in realtà gli estremi sono invertiti e quindi vale -oo)
$lim_(x->+oo)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(+oo)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)$
però la vedo come: $lim_(x->+oo)((\int_(x)^(20) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt))$ = $(\int_(+oo)^(20) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)$ = $-(\int_(20)^(oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt$ = $+oo - oo$
e quindi forma indeterminata...
teoricamente mi potrei fermare ma ho provato a risolverlo comunque...
un teorema che mi permette di togliere l'integrale è quello della media
$ f:[a,b] -> RR$ continua, allora $EE c in [a,b] : \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b-a)$
quindi:
$... <= \int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt = (c^2*arctgc)/(c+1) * x +(1/x) -x <=...$
dove $x
maggiorando e minornado ed usando il teorema del confronto faccio in modo che $lim+oo-> pi /2$
che faticaaaaaaaaaaaaa!!!...
dovrei aver capito... posto un esercizio x vedere se ci ho preso fino in fondo...
$F(x) = \int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt$
so che la $x!=0$ altrimenti non posso farlo... (vedi l'estremo)
cerco il dominio e vedo che è definita per $t!=-1$ quindi continua e integrabile tolto in quel punto...
cosa succede nel punto -1?
$lim_(t->-1)((t^2* arctg t)/(t+1)) = pm oo$ quindi integtale improprio divergente (ordine 1)
quindi non posso integrare in -1 e gli estremi devono stare o da una parte o dall'altra:
$\{(x<-1),(x+1/x < -1):}$
unito a
$\{(x> -1),(x+1/x > -1):}$
qui l'ho risolto per via grafica (ascissa x, ordinata t) disegnando x e 1+1/x e trovando l'"area" di dove posso andare tra una funzione all'altra senza passare in t=-1...
Il dominio è quindi è $(-oo,-1)U(0,+oo)$
qui ho trovato i limiti agli estremi del campo:
$lim_(x->0^+)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(0)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)=+oo$
perchè $lim_(t->+oo)((t^2* arctg t)/(t+1)) = +oo$ diverge perchè $!=0$
$lim_(x->-1^-)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(-1)^(-2) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)=-oo$
perchè $lim_(t->-1^-)((t^2* arctg t)/(t+1)) = +oo$ (in realtà gli estremi sono invertiti e quindi vale -oo)
$lim_(x->+oo)(\int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt) = (\int_(+oo)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)$
però la vedo come: $lim_(x->+oo)((\int_(x)^(20) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt))$ = $(\int_(+oo)^(20) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)$ = $-(\int_(20)^(oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt)+\int_(20)^(+oo) (t^2* arctg t)/(t+1)dt$ = $+oo - oo$
e quindi forma indeterminata...
teoricamente mi potrei fermare ma ho provato a risolverlo comunque...
un teorema che mi permette di togliere l'integrale è quello della media
$ f:[a,b] -> RR$ continua, allora $EE c in [a,b] : \int_{a}^{b} f(x) dx = f(c)(b-a)$
quindi:
$... <= \int_(x)^(x+1/x) (t^2* arctg t)/(t+1)dt = (c^2*arctgc)/(c+1) * x +(1/x) -x <=...$
dove $x
maggiorando e minornado ed usando il teorema del confronto faccio in modo che $lim+oo-> pi /2$
che faticaaaaaaaaaaaaa!!!
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