Grafico di sistema di funzioni
Ciao a tutti, ho un problema con questo esercizio (le due funzioni sono in un sistema):
Ho il seguente sistema (definito come $z = f(x,y)$):
\begin{cases}
x^2 + 2y^2 + 2xy\\-x^2 - 2y^2
\end{cases}
la prima equazione ha condizione $ x > 0 $, mentre la seconda altrimenti.
Devo disegnare il grafico di $ z = f(1,y) $.
Come devo trattare le condizioni, in particolare $ x > 0 $ dato che ho $ x = 1 $?
Se sostituisco nelle condizioni ottengo $ 1 > 0 $ che non ha senso.
Nella soluzione il professore ha lasciato la condizione invariata, quindi $ x > 0 $ disegnando il grafico relativo alla prima equazione da $ x $ in poi.
In un altro esercizio come questo però, la $x$ nelle condizioni è stata invece sostituita col valore $1$.
Ho il seguente sistema (definito come $z = f(x,y)$):
\begin{cases}
x^2 + 2y^2 + 2xy\\-x^2 - 2y^2
\end{cases}
la prima equazione ha condizione $ x > 0 $, mentre la seconda altrimenti.
Devo disegnare il grafico di $ z = f(1,y) $.
Come devo trattare le condizioni, in particolare $ x > 0 $ dato che ho $ x = 1 $?
Se sostituisco nelle condizioni ottengo $ 1 > 0 $ che non ha senso.
Nella soluzione il professore ha lasciato la condizione invariata, quindi $ x > 0 $ disegnando il grafico relativo alla prima equazione da $ x $ in poi.
In un altro esercizio come questo però, la $x$ nelle condizioni è stata invece sostituita col valore $1$.
Risposte
Ciao abaco90,
Riscriviamo meglio come stanno le cose. Se ho capito bene, hai la funzione $z(x, y) $ definita nel modo seguente:
$z(x, y) := {(x^2 + 2y^2 + 2xy text{ se } x > 0),(- x^2 - 2y^2 text{ se } x \le 0):}$
Ora, siccome ti viene richiesto il grafico di $z(1, y) $, essendo $1 > 0 $ in pratica ti viene richiesto il grafico della funzione seguente:
$z(1, y) = z(y) = 1 + 2y^2 + 2y $
Il grafico di quest'ultima funzione è semplicemente una parabola sul sistema di riferimento cartesiano $yOz $
Riscriviamo meglio come stanno le cose. Se ho capito bene, hai la funzione $z(x, y) $ definita nel modo seguente:
$z(x, y) := {(x^2 + 2y^2 + 2xy text{ se } x > 0),(- x^2 - 2y^2 text{ se } x \le 0):}$
Ora, siccome ti viene richiesto il grafico di $z(1, y) $, essendo $1 > 0 $ in pratica ti viene richiesto il grafico della funzione seguente:
$z(1, y) = z(y) = 1 + 2y^2 + 2y $
Il grafico di quest'ultima funzione è semplicemente una parabola sul sistema di riferimento cartesiano $yOz $
Ciao, grazie per la risposta.
Il mio ragionamento era proprio questo, cioè disegnare semplicemente la funzione senza condizioni.
Il professore nella soluzione però disegna la prima parabola da $ x > 0 $ in poi, quindi primo quadrante, mentre la seconda da $ x <= 0 $, quindi terzo quadrante. Quindi sembra che applichi entrambe le condizioni...
Il mio ragionamento era proprio questo, cioè disegnare semplicemente la funzione senza condizioni.
Il professore nella soluzione però disegna la prima parabola da $ x > 0 $ in poi, quindi primo quadrante, mentre la seconda da $ x <= 0 $, quindi terzo quadrante. Quindi sembra che applichi entrambe le condizioni...
"abaco90":
Ciao, grazie per la risposta.
Prego!
"abaco90":
Il professore nella soluzione però disegna la prima parabola da $x>0 $ in poi, quindi primo quadrante, mentre la seconda da $x \le 0 $, quindi terzo quadrante.
Perdonami, ma non ti seguo... Quale seconda parabola? Non so che cosa abbia fatto il tuo professore, magari ha fatto il grafico di $z(- 1, y) = z(y) = - 1 - 2y^2 $
e anche il grafico di quest'ultima funzione è semplicemente una parabola sul sistema di riferimento cartesiano $yOz$
Si il grafico richiesto riguarda l'intero sistema, quindi sia la prima equazione $ 1 + 2y^2 + 2y $ che $ -1 - 2y^2 $.
Quindi tu stai dicendo che per il disegno non devo considerare le condizioni $ x > 0 $ e $ x <= 0 $ ?
Nel senso che disegno entrambe le parabole "intere"?
Quello che ha fatto il mio professore nella soluzione è stato disegnare le parabole ma rispettando le condizioni. Quindi, ad esempio, della prima ha disegnato solo la parte da $ x > 0 $ in poi, mentre della seconda ha disegnato la parte con $ x <= 0 $.
Quindi tu stai dicendo che per il disegno non devo considerare le condizioni $ x > 0 $ e $ x <= 0 $ ?
Nel senso che disegno entrambe le parabole "intere"?
Quello che ha fatto il mio professore nella soluzione è stato disegnare le parabole ma rispettando le condizioni. Quindi, ad esempio, della prima ha disegnato solo la parte da $ x > 0 $ in poi, mentre della seconda ha disegnato la parte con $ x <= 0 $.
"abaco90":
Quindi tu stai dicendo che per il disegno non devo considerare le condizioni $x>0$ e $x \le 0 $ ?
Non sto assolutamente dicendo questo, infatti le sto considerando:
per $x = 1 > 0 $ considero la definizione di $z(x, y) $ valida per $x > 0 $ ed ottengo $z(1, y) = 1 + 2y^2 + 2y $;
per $x = - 1 < 0 $ considero la definizione di $z(x, y) $ valida per $x \le 0 $ ed ottengo $z(- 1, y) = - 1 - 2y^2 $
Se vuoi avere un'idea della situazione in 3D dai un'occhiata qui:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(x%5E2+%2B+2y%5E2+%2B+2xy,+x+%3E+0)+and+(-+x%5E2+-+2y%5E2,+x+%3C%3D+0)
Ma in un grafico in 2D come risulterebbero?
Beh, in 2D come già detto sono due parabole...
per $x = 1 > 0 $ si ha $ z(y) = z(1, y) = 2y^2+2y + 1 $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+2y%5E2+%2B+2y+%2B+1
per $ x = -1 < 0 $ si ha $ z(y) = z(-1, y) = -2y^2 - 1 $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+-+2y%5E2+-+1
per $x = 1 > 0 $ si ha $ z(y) = z(1, y) = 2y^2+2y + 1 $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+2y%5E2+%2B+2y+%2B+1
per $ x = -1 < 0 $ si ha $ z(y) = z(-1, y) = -2y^2 - 1 $:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=z+%3D+-+2y%5E2+-+1
Nelle soluzioni il prof ha disegnato la parabola $ 2y^2 + 2y + 1 $ per $ y > 0 $ mentre la parabola $ -2y^2 - 1 $ per $ y <= 0 $, (sistema di riferimento cartesiano $ yOz $). Quindi le due parabole non sono complete come su Wolfram, ma ne viene rappresentata solo una parte...
... E perché, di grazia ?
A meno che la definizione di $z = f(x, y) $ non sia in realtà la seguente:
$ z = f(x, y) := {(x^2 + 2y^2 + 2xy text{ se } x > 0 ^^ y > 0),(- x^2 - 2y^2 text{ se } x \le 0 ^^ y \le 0):} $
e questo me lo puoi confermare soltanto tu...
A meno che la definizione di $z = f(x, y) $ non sia in realtà la seguente:
$ z = f(x, y) := {(x^2 + 2y^2 + 2xy text{ se } x > 0 ^^ y > 0),(- x^2 - 2y^2 text{ se } x \le 0 ^^ y \le 0):} $
e questo me lo puoi confermare soltanto tu...
Le condizioni riportate dall'esercizio riguardano solo la $ x $ quindi esattamente come avevi scritto tu nella prima risposta.
Può essere che sia dovuto a questo fatto ? : dato che, dopo aver sostituito, sto lavorando in un sistema cartesiano $ yOz $ quella che prima era la $y$ ora è $z$, mentre la $x$ diventa $y$ e questo di conseguenza si applica alle condizioni, dunque è come se avessi:
$ 2y^2 + 2y + 1 $ se $ y > 0 $
$ -1 - 2y^2 $ se $ y <= 0 $
Può essere che sia dovuto a questo fatto ? : dato che, dopo aver sostituito, sto lavorando in un sistema cartesiano $ yOz $ quella che prima era la $y$ ora è $z$, mentre la $x$ diventa $y$ e questo di conseguenza si applica alle condizioni, dunque è come se avessi:
$ 2y^2 + 2y + 1 $ se $ y > 0 $
$ -1 - 2y^2 $ se $ y <= 0 $
"abaco90":
Può essere che sia dovuto a questo fatto ? : dato che, dopo aver sostituito, sto lavorando in un sistema cartesiano $yOz $ quella che prima era la $y $ ora è $ z$, mentre la $x $ diventa $y $ e questo di conseguenza si applica alle condizioni,[...]
No. Ogni variabile fa razza per conto suo, per cui, fissato $x$, se non ci sono altri motivi che in questo momento mi sono oscuri, le due parabole $z = f(y) $ vanno considerate $\AA y \in \RR $
Ok ho capito tutto! Sono stato io ad interpretare male il grafico del professore! Grazie ancora!
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