Grafico di funzione implicita
Ciao a tutti, devo studiare l'insieme delle soluzioni di $sqrt(x)(y^3-x^3)+y-2=0$.
Chiaramente $f(x,y):=sqrt(x)(y^3-x^3)y-2$ è definita su $[0, +oo) xx RR$; fissato $x_0>0$ si ha $lim_(yrarr+oo)f(x_0,y)=-oo$ e $lim_(yrarr-oo)f(x_0,y)=+oo$. Inoltre $del_yf(x_0,y)>0$ $forallx_0$.
Quindi la restrizione della funzione alle rette verticali è sempre strettamente crescente e quindi la funzione si annulla in uno e uno solo punto della retta. Per il Dini quindi esiste $phi(x):[0,+oo)$ di classe $C^1$ per cui $f(x,phi(x))=0$.
$f(x_0,0)>0$ se $x
Si ha anche $lim_(xrarr+oo)f(x,y_0)=-oo$, e quindi $lim_(xrarr+oo)phi(x)=+oo$.
I punti stazionari di $phi$ sono quelli che annullano la funzione e per i quali $del_xf(x,y)=0$. Risolvendo il sistema trovo che $(0,2)$ è un punto di massimo per la funzione.
Chiaramente ci deve essere qualcosa di sbagliato, infatti i miei risultati contraddicono la continuità sul dominio di $phi(x)$: l'unico modo per farlo funzionare sarebbe che $2$ sia un punto isolato e che l'implicita abbia un asintoto verticale a $-oo$ alla destra dell'asse delle ordinate, cosa che però non ha. Cosa sbaglio?
Chiaramente $f(x,y):=sqrt(x)(y^3-x^3)y-2$ è definita su $[0, +oo) xx RR$; fissato $x_0>0$ si ha $lim_(yrarr+oo)f(x_0,y)=-oo$ e $lim_(yrarr-oo)f(x_0,y)=+oo$. Inoltre $del_yf(x_0,y)>0$ $forallx_0$.
Quindi la restrizione della funzione alle rette verticali è sempre strettamente crescente e quindi la funzione si annulla in uno e uno solo punto della retta. Per il Dini quindi esiste $phi(x):[0,+oo)$ di classe $C^1$ per cui $f(x,phi(x))=0$.
$f(x_0,0)>0$ se $x
Si ha anche $lim_(xrarr+oo)f(x,y_0)=-oo$, e quindi $lim_(xrarr+oo)phi(x)=+oo$.
I punti stazionari di $phi$ sono quelli che annullano la funzione e per i quali $del_xf(x,y)=0$. Risolvendo il sistema trovo che $(0,2)$ è un punto di massimo per la funzione.
Chiaramente ci deve essere qualcosa di sbagliato, infatti i miei risultati contraddicono la continuità sul dominio di $phi(x)$: l'unico modo per farlo funzionare sarebbe che $2$ sia un punto isolato e che l'implicita abbia un asintoto verticale a $-oo$ alla destra dell'asse delle ordinate, cosa che però non ha. Cosa sbaglio?
Risposte
Ciao, credo che ci sia un errore di battitura sulla definizione della funzione: prima hai scritto $sqrt(x)(y^3-x^3)+y-2=0$
e poi $f(x,y):=sqrt(x)(y^3-x^3)y-2$. Quale delle due è quella giusta?
e poi $f(x,y):=sqrt(x)(y^3-x^3)y-2$. Quale delle due è quella giusta?
Ciao, scusa per il ritardo. Comunque è la prima.
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