Grafico di funzione
Disegnare un grafico qualitativo della seguente funzione:
$f(x)=\int_{0}^{x} arctg(logt) dt$
Cosa devo fare?Io volevo risolvere l'integrale definito in modo da ottenere la funzione...ma mi pare un po' impossibile risolvere questo integrale...voi avete altri metodi? Grazie mille per l'aiuto...
$f(x)=\int_{0}^{x} arctg(logt) dt$
Cosa devo fare?Io volevo risolvere l'integrale definito in modo da ottenere la funzione...ma mi pare un po' impossibile risolvere questo integrale...voi avete altri metodi? Grazie mille per l'aiuto...
Risposte
Abbandona l'idea di calcolarti direttamente l'integrale che non si può fare...
Ciao melli13
Solitamente gli esercizi di questo tipo non si possono risolvere calcolando effettivamente l'integrale, quindi bisogna agire diversamente.
Si può impiegare il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che afferma:
Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile (anche in senso generalizzato), sia $x_0 \in [a,b]$ e sia $F(x)=\int_{x_o}^x f(t)dt$. Allora:
1) $F(x)$ è continua in $[a,b]$;
2) Se inoltre $f$ è continua in $[a,b]$, allora $F$ è derivabile in $[a,b]$, e vale $F'(x)=f(x) \forall x \in [a,b]$
Il teorema afferma cioé che:
1) se $f$ è continua, allora $F$ è derivabile con continuità;
2) se $f$ è continua e derivabile con continuità, allora $F$ è derivabile con continuità due volte
3) ogni funzione continua nell'intervallo considerato ha nello stesso intervallo una primitiva, che è la sua funzione integrale.
In pratica bisogna:
1) studiarsi il dominio di $f(t)=\arctan(\ln t)$
2) calcolarsi i limiti agli estremi del dominio e controllare se convergono (il limite tende a $l \ne 0$ oppure tende a $0$ con ordine $\ge 1$ oppure a $\pm \infty$ con ordine $< 1$) o divergono (il limite tende a $0$ con ordine $< 1$ oppure a $\pm \infty$ con ordine $\ge 1$). Se un limite converge vuol dire che la funzione $f$ è integrabile per l'estremo considerato, se un limite diverge invece la funzione non è integrabile in tale estremo
3) se $f(t)$ è definita su più intervalli, controlla dove gli estremi convergono o divergono, e prendi in considerazione solo l'intervallo più grande in cui è presente $x_0$
(ad esempio: $f$ sia definita nell'intervallo $(-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, + \infty)$ e sia $x_0=1/2$: se studiando i limiti emerge che convergono su $-1$ e $0$, ma divergono su $1$, allora avresti $[-1, 1) \cup (1, + \infty)$ ma poiché $x_0=1/2 \in [-1, 1)$ allora $F$ è definita solamente in $[-1, 1)$)
4) verificare la derivata di $F$, $F'(x)=f(x)=f(\beta(x)) \beta'(x) - f(\alpha(x)) \alpha'(x)$ con $F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt$, e studiandola vedi dove $F$ cresce o decresce
5) nei casi semplici puoi anche calcolarti la derivata seconda di $F$, $F''(x)=f'(x)$ per controllare concavità e convessità
Puoi inoltre guardare qui per approfondimenti
http://www.matematicamente.it/forum/studio-della-funzione-integrale-i-vi-t25340.html
Solitamente gli esercizi di questo tipo non si possono risolvere calcolando effettivamente l'integrale, quindi bisogna agire diversamente.
Si può impiegare il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che afferma:
Sia $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ una funzione integrabile (anche in senso generalizzato), sia $x_0 \in [a,b]$ e sia $F(x)=\int_{x_o}^x f(t)dt$. Allora:
1) $F(x)$ è continua in $[a,b]$;
2) Se inoltre $f$ è continua in $[a,b]$, allora $F$ è derivabile in $[a,b]$, e vale $F'(x)=f(x) \forall x \in [a,b]$
Il teorema afferma cioé che:
1) se $f$ è continua, allora $F$ è derivabile con continuità;
2) se $f$ è continua e derivabile con continuità, allora $F$ è derivabile con continuità due volte
3) ogni funzione continua nell'intervallo considerato ha nello stesso intervallo una primitiva, che è la sua funzione integrale.
In pratica bisogna:
1) studiarsi il dominio di $f(t)=\arctan(\ln t)$
2) calcolarsi i limiti agli estremi del dominio e controllare se convergono (il limite tende a $l \ne 0$ oppure tende a $0$ con ordine $\ge 1$ oppure a $\pm \infty$ con ordine $< 1$) o divergono (il limite tende a $0$ con ordine $< 1$ oppure a $\pm \infty$ con ordine $\ge 1$). Se un limite converge vuol dire che la funzione $f$ è integrabile per l'estremo considerato, se un limite diverge invece la funzione non è integrabile in tale estremo
3) se $f(t)$ è definita su più intervalli, controlla dove gli estremi convergono o divergono, e prendi in considerazione solo l'intervallo più grande in cui è presente $x_0$
(ad esempio: $f$ sia definita nell'intervallo $(-1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, + \infty)$ e sia $x_0=1/2$: se studiando i limiti emerge che convergono su $-1$ e $0$, ma divergono su $1$, allora avresti $[-1, 1) \cup (1, + \infty)$ ma poiché $x_0=1/2 \in [-1, 1)$ allora $F$ è definita solamente in $[-1, 1)$)
4) verificare la derivata di $F$, $F'(x)=f(x)=f(\beta(x)) \beta'(x) - f(\alpha(x)) \alpha'(x)$ con $F(x)=\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(t)dt$, e studiandola vedi dove $F$ cresce o decresce
5) nei casi semplici puoi anche calcolarti la derivata seconda di $F$, $F''(x)=f'(x)$ per controllare concavità e convessità
Puoi inoltre guardare qui per approfondimenti
http://www.matematicamente.it/forum/studio-della-funzione-integrale-i-vi-t25340.html
Scusami se ti rispondo ora, ma adesso ho ripreso a studiare ciò (come avrai capito..
)
La funzione $f(t)$ è continua su $RR^+$, quindi anche $F(x)$ sarà continua su $RR^+$ giusto? Solo che non sono sicura di dire che $lim_(x->0^+) \int_0^x arctg(log(t)) dt =0$. Da una parte ne sono convinta perchè sappiamo che $\int_a^af(x)dx =0$, ma siccome in $x=0$ la funzione non è definita non so se commetto qualche errore....
Per il resto: $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = \int_0^(+oo) arctg(log(t)) dt $ che non converge perchè non è soddisfatta la condizione necessaria e cioè $lim_(x->+oo) arctg(log(x)) = pi/2 !=0$
Poi $F'(x)= arctg(log(x))$ e quindi $F(x)$ è crescente per $x>=1$ e in $x=1$ abbiamo un punto di minimo. Questo ci fa capire che $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = +oo$
Cosa ne pensi? Grazie ancora...
)La funzione $f(t)$ è continua su $RR^+$, quindi anche $F(x)$ sarà continua su $RR^+$ giusto? Solo che non sono sicura di dire che $lim_(x->0^+) \int_0^x arctg(log(t)) dt =0$. Da una parte ne sono convinta perchè sappiamo che $\int_a^af(x)dx =0$, ma siccome in $x=0$ la funzione non è definita non so se commetto qualche errore....
Per il resto: $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = \int_0^(+oo) arctg(log(t)) dt $ che non converge perchè non è soddisfatta la condizione necessaria e cioè $lim_(x->+oo) arctg(log(x)) = pi/2 !=0$
Poi $F'(x)= arctg(log(x))$ e quindi $F(x)$ è crescente per $x>=1$ e in $x=1$ abbiamo un punto di minimo. Questo ci fa capire che $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = +oo$
Cosa ne pensi? Grazie ancora...
"melli13":
La funzione $f(t)$ è continua su $RR^+$, quindi anche $F(x)$ sarà continua su $RR^+$ giusto? Solo che non sono sicura di dire che $lim_(x->0^+) \int_0^x arctg(log(t)) dt =0$. Da una parte ne sono convinta perchè sappiamo che $\int_a^af(x)dx =0$, ma siccome in $x=0$ la funzione non è definita non so se commetto qualche errore....
$F(x)=int_0^x f(t) dt = int_0^x arctan[ln(t)]dt$
Sicuramente $f(t)$ è continua nel suo dominio $(0,+oo)$ poiché combinazione di funzioni continue $=>$ per il Secondo Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale $F(x)$ è ivi continua.
Il prossimo passo è capire se $F(x)$ così come è stata definita abbia senso, poiché ha come estremo di integrazione $0$, mentre $f(t)$ non è definita in tale punto: bisogna cioè controllare se $f(t)$ è integrabile in senso improrio in $0$. Allora controlliamo attraverso:
$lim_(t ->0^+) arctan[ln(t)]= arctan(-oo) = -pi/2 (=l)$
$=>$ l'integranda converge in $x_0=0$
$=>$ l'integrale è definito anche in $x_0=0$
$=>$ il dominio dell'integrale è quindi $[0,+oo)$ - nonostante il dominio dell'integranda sia $(0,+oo)$
$=>$ appurato che l'integrale ha senso, si ha ovviamente $lim_(x->0^+)int_0^x arctan[ln(t)]dt=int_0^0 arctan[ln(t)]dt=0$
"melli13":
Per il resto: $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = \int_0^(+oo) arctg(log(t)) dt $ che non converge perchè non è soddisfatta la condizione necessaria e cioè $lim_(x->+oo) arctg(log(x)) = pi/2 !=0$
E' giusto, ma quel $ne 0$ non lo scriverei, perché sembrerebbe che se il limite facesse $0$ allora convergerebbe, quando invece non è detto che lo faccia - per convergere deve tendere a $0$ con ordine $>1$.
"melli13":
Poi $F'(x)= arctg(log(x))$ e quindi $F(x)$ è crescente per $x>=1$ e in $x=1$ abbiamo un punto di minimo. Questo ci fa capire che $lim_(x->+ oo) \int_0^x arctg(log(t)) dt = +oo$
Ok, ma è crescente solo per $x>1$ (per $x=1$ si ha $F'(x)=0$, quindi qui l'integrale non cresce ma "svolta")
Poiché l'integranda non è terribile, sapresti studiare la concavità di $F(x)$?
In $x=1$ svolta nel senso che abbiamo un minimo.
$F''(x)= 1/(x(1+log^2(x)))$ e quindi $F(x)$ è sempre convessa.
Ho provato a vedere anche se la funzione avesse un asintoto obliquo:
$lim_(x->+oo) (int_0^x arctg(log(t))dt)/x = pi/2$ ma $lim_(x->+oo) (int_0^x arctg(log(t))dt)-pi/2*x$ non riesco a risolverlo.
Con queste informazioni posso tracciare un grafico approssimativo della funzione, giusto? Solo a $+ oo$ non capisco se ci va lentamente o rapidamente...
Grazie di tutto comunque...
$F''(x)= 1/(x(1+log^2(x)))$ e quindi $F(x)$ è sempre convessa.
Ho provato a vedere anche se la funzione avesse un asintoto obliquo:
$lim_(x->+oo) (int_0^x arctg(log(t))dt)/x = pi/2$ ma $lim_(x->+oo) (int_0^x arctg(log(t))dt)-pi/2*x$ non riesco a risolverlo.
Con queste informazioni posso tracciare un grafico approssimativo della funzione, giusto? Solo a $+ oo$ non capisco se ci va lentamente o rapidamente...
Grazie di tutto comunque...
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