Grafico derivata parziale
Usando la seguente figura che mostra le curve di livello di $f(x, y)$, stimare il valore delle derivate parziali di $ f$ nel punto $(0.5, 1.5)$ indicato in figura (indicarne almeno il segno).
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Aiutatemi, non so come ragionare.
Avete qualche consiglio?
GRazie
Risposte
Il vettore gradiente è perpendicolare alle curve di livello e orientato nel verso della crescita dei valori del livello.
Possiamo pensare quindi che il vettore gradiente nel punto indicato ( anche se non sono lì indicate le curve di livello ) facendo riferimento alle curve di livello vicine ( valori 0.12 e 0.16) sia orientato verso destra e verso il basso.
La componente orizzontale del vettore gradiente è la derivata rispetto ad x ed è quindi positiva , mentre la componente verticale è la derivata rispetto ad y e quidni negativa.
Possiamo pensare quindi che il vettore gradiente nel punto indicato ( anche se non sono lì indicate le curve di livello ) facendo riferimento alle curve di livello vicine ( valori 0.12 e 0.16) sia orientato verso destra e verso il basso.
La componente orizzontale del vettore gradiente è la derivata rispetto ad x ed è quindi positiva , mentre la componente verticale è la derivata rispetto ad y e quidni negativa.
uhm elimino il post perché mi sa che pensavo ad altro ahha 
pardon
pardon
Consiglio pratico:
tira una riga parallela all'asse x passante per il punto indicato. Misura la distanza tra l'intersezione di questa riga con la curva di livello f=0.12 e f=0.16. Ottieni la derivata parziale rispetto ad x facendo (0.16-0.12)/(distanzaX).
Fai la stessa cosa per y.
tira una riga parallela all'asse x passante per il punto indicato. Misura la distanza tra l'intersezione di questa riga con la curva di livello f=0.12 e f=0.16. Ottieni la derivata parziale rispetto ad x facendo (0.16-0.12)/(distanzaX).
Fai la stessa cosa per y.
"Camillo":
Il vettore gradiente è perpendicolare alle curve di livello e orientato nel verso della crescita dei valori del livello.
Possiamo pensare quindi che il vettore gradiente nel punto indicato ( anche se non sono lì indicate le curve di livello ) facendo riferimento alle curve di livello vicine ( valori 0.12 e 0.16) sia orientato verso destra e verso il basso.
La componente orizzontale del vettore gradiente è la derivata rispetto ad x ed è quindi positiva , mentre la componente verticale è la derivata rispetto ad y e quidni negativa.
Guten Tag Camillo!
Ok la tua spiegazione è chiarissima! Come sempre
Ma cosa posso fare oltre a questo?
Le frecce ("del campo di gradienti"?!) sono orientate verso destra e verso il basso.
Verso destra mi fa capire che la x è positiva. Ok
Verso il basso che è negativa la y. Ok
Basta così? Devo disegnare qualcos'altro sul grafico?
Il testo non mi è chiaro: "indicarne almeno il segno"... ?!
"Marco83":
Consiglio pratico:
tira una riga parallela all'asse x passante per il punto indicato. Misura la distanza tra l'intersezione di questa riga con la curva di livello f=0.12 e f=0.16. Ottieni la derivata parziale rispetto ad x facendo (0.16-0.12)/(distanzaX).
Fai la stessa cosa per y.
Ciao!
Il tuo consiglio mi interessa, e non poco!
Allora la distanza (in scala del disegno) tra $f=0.12$ e $f=0.16$ è $0.3$ ed è calcolata sulla riga parallela all'asse x che interseca il punto dato. Inizio a misurare da quando interseca $f=0.12$, passo per il punto col righelluzzo, e finisco la misura appena tocca $f=0.16$.
Ho quindi la $f_x= (0.16 - 0.12)/(0.3) = 0.13$
La stessa cosa (risp all'asse y) per trovare la $f_y = (0.16-0.12)/(0.5)= 0.08$
Ma ora con questi valori cosa devo/posso fare?
Scusa l'ignoranza,
GRAZIE !
Attenzione mentre $ f_x $ è positiva perchè al crescere dei valori delle linee di livello anche i valori di ascisssa crescono , per $ f_y $ succede l'opposto cioè è negativa perchè al crescere dei valori delle linee di livello , l'ordinata y decresce , quindi una derivata parziale ha segno positivo, l'altra negativo.
questo appare anche dal segmento con freccia che hai disegnato vicino al punto in oggetto che rappresenta il vettore gradiente le cui componenti sono :
quella orizzzontale la derivata $ f_x $ ed è positiva , stesso verso delle ascisse positive
quella verticale la derivata $f_y$ ed è negativa , verso opposto a quello delle ordinate positive , infatti la freccia va verso il basso.
Integra quello che abbiamo detto io e Marco83 .
questo appare anche dal segmento con freccia che hai disegnato vicino al punto in oggetto che rappresenta il vettore gradiente le cui componenti sono :
quella orizzzontale la derivata $ f_x $ ed è positiva , stesso verso delle ascisse positive
quella verticale la derivata $f_y$ ed è negativa , verso opposto a quello delle ordinate positive , infatti la freccia va verso il basso.
Integra quello che abbiamo detto io e Marco83 .
Ok, ma ancora non ci sono allora...
Sto cercando di mettere insieme il puzzle ma non ce la fo...
la derivata parziale rispetto ad y è negativa:
$f_y = (0.12-0.16)/(0.5)= - 0.08$
Cosa ho trovato ancora con il consiglio di Marco non lo capisco. Non è così semplice...
Pensando alle derivate in una variabile direi che ho travato la pendenza della tangente nel punto rispetto ad x e poi rispetto ad y.. Ma guardando il grafico poi non mi oriento...
(ho notato che $f_x = 0.13$ mi porta nel cuore del punto dove sono diretto... Cioé, per dirlo terra terra, sulla cima + alta)
(il punto $f_y = -0.08$ non mi dice nulla per ora...
)
Ma le soluzioni finali dell'esercizio quali sono? Le freccettine dei gradienti?
Sto cercando di mettere insieme il puzzle ma non ce la fo...
la derivata parziale rispetto ad y è negativa:
$f_y = (0.12-0.16)/(0.5)= - 0.08$
Cosa ho trovato ancora con il consiglio di Marco non lo capisco. Non è così semplice...
Pensando alle derivate in una variabile direi che ho travato la pendenza della tangente nel punto rispetto ad x e poi rispetto ad y.. Ma guardando il grafico poi non mi oriento...
(ho notato che $f_x = 0.13$ mi porta nel cuore del punto dove sono diretto... Cioé, per dirlo terra terra, sulla cima + alta)
(il punto $f_y = -0.08$ non mi dice nulla per ora...
)Ma le soluzioni finali dell'esercizio quali sono? Le freccettine dei gradienti?
Per completare la cosa ( non ho fatto i conti, prendo buoni i tuoi a parte $ f_y $ a cui cambio segno ) dico che :
$f_x = 0.13$
$f_y=- 0.08$
il vettore gradiente vale $grad f(x,y ) = 0.13*i-0.08*j $ essendo $i,j $ i versori degli assi ; quindi il modulo del gradiente è $|grad f(x,y)|= sqrt(0.13^2+0.08^2)=0.1526 $ ed anche l'angolo che il vettore gradiente fa con la direzione positiva dell'asse x è $ theta = arctg ((-0.08)/(0.13))=-arctg 0.615$ che corrisponde a un angolo di circa $ -31°.6$ .
$f_x = 0.13$
$f_y=- 0.08$
il vettore gradiente vale $grad f(x,y ) = 0.13*i-0.08*j $ essendo $i,j $ i versori degli assi ; quindi il modulo del gradiente è $|grad f(x,y)|= sqrt(0.13^2+0.08^2)=0.1526 $ ed anche l'angolo che il vettore gradiente fa con la direzione positiva dell'asse x è $ theta = arctg ((-0.08)/(0.13))=-arctg 0.615$ che corrisponde a un angolo di circa $ -31°.6$ .
Sto elaborando le informazioni... La pensavo più semplice la questione...
Ne ho trovato un altro:
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Usando la seguente figura che mostra le curve di livello di $f(x, y)$, stimare il valore delle derivate parziali di f nel punto $(0.5, 0.5)$ indicato in figura.
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Soluzione:
La direzione è verso destra e verso l'alto.
Quindi $f_x$ è positiva (a dx) perché il valore di x cresce al crescere dei valori delle curve di livello.
La $f_y$ è pure positiva (in alto) perché il valore di y cresce al crescere dei valori delle curve di livello.
$f_x = (0.16-0.12)/0.2= 0.2$ mentre la $f_y = (0.16-0.12)/0.35= 0.11$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.2i + 0.11j$
Cerco la lunghezza di tale vettore gradiente:
$|grad(f(x,y))| = sqrt ((0.2)^2 + (0.11)^2) = 0.23$
Angolo con l'asse x = $arctg ((f_y)/(f_x)) = arctg ((0.11)/(0.2)) = arctg 0.55 = 28^°$ circa
Infatti se immagino l'angolo tra l'asse x ed una qualunque freccettina gradiente, nella figura, noto che è intorno ai 30 gradi.
Ci sono?
(GRAZIE !)
Ne ho trovato un altro:
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Usando la seguente figura che mostra le curve di livello di $f(x, y)$, stimare il valore delle derivate parziali di f nel punto $(0.5, 0.5)$ indicato in figura.
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Soluzione:
La direzione è verso destra e verso l'alto.
Quindi $f_x$ è positiva (a dx) perché il valore di x cresce al crescere dei valori delle curve di livello.
La $f_y$ è pure positiva (in alto) perché il valore di y cresce al crescere dei valori delle curve di livello.
$f_x = (0.16-0.12)/0.2= 0.2$ mentre la $f_y = (0.16-0.12)/0.35= 0.11$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.2i + 0.11j$
Cerco la lunghezza di tale vettore gradiente:
$|grad(f(x,y))| = sqrt ((0.2)^2 + (0.11)^2) = 0.23$
Angolo con l'asse x = $arctg ((f_y)/(f_x)) = arctg ((0.11)/(0.2)) = arctg 0.55 = 28^°$ circa
Infatti se immagino l'angolo tra l'asse x ed una qualunque freccettina gradiente, nella figura, noto che è intorno ai 30 gradi.
Ci sono?
(GRAZIE !)
Ma se mi chiedo: quanto vale numericamente il gradiente? (Mi riferisco al punto nero nella figura)
Cerco un esempio per capire meglio...
Cerco un esempio per capire meglio...
Ecco ad esempio:
Non so bene come muovermi, ma ci provo:
$f_x = (0.24-0.20)/(0.35) = 0.11$
$f_y = (0.24-0.20)/(0.2) = 0.2$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.11i + 0.2j$ (Poi vedo pure che ho una pendenza di 60° rispetto all'asse x)
Ma poi per trovare le soluzioni mi impallo...
Non so bene come muovermi, ma ci provo:
$f_x = (0.24-0.20)/(0.35) = 0.11$
$f_y = (0.24-0.20)/(0.2) = 0.2$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.11i + 0.2j$ (Poi vedo pure che ho una pendenza di 60° rispetto all'asse x)
Ma poi per trovare le soluzioni mi impallo...
Significato geomtrico della derivata parziale di una funzione $ z=f(x,y) $ nel suo punto P $(x_0,y_0, f(x_0,y_0))$.
In generale $z $ è una superficie e P un suo punto .
Adesso per il punto P si conducano 2 piani , paralleli rispettivamente al piano $zx$ e al piano $ yz $.Sono entrambi piani perpendicolari al piano di base $xy$ e perpendicolari tra loro.
Bene, la superficie che rappresenta la funzione è intersecata da tali piani secondo due linee $l_x , l_y $ , le quali in P hanno le rette tangenti $t_x, t_y $ .
Le derivate parziali $z_x , z_y $ rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare delle due rette tangenti e sono quindi le tangenti trigonometriche degli angoli che le rette $t_x, t_y $ formano con gli assi x, y .
In generale $z $ è una superficie e P un suo punto .
Adesso per il punto P si conducano 2 piani , paralleli rispettivamente al piano $zx$ e al piano $ yz $.Sono entrambi piani perpendicolari al piano di base $xy$ e perpendicolari tra loro.
Bene, la superficie che rappresenta la funzione è intersecata da tali piani secondo due linee $l_x , l_y $ , le quali in P hanno le rette tangenti $t_x, t_y $ .
Le derivate parziali $z_x , z_y $ rappresentano rispettivamente il coefficiente angolare delle due rette tangenti e sono quindi le tangenti trigonometriche degli angoli che le rette $t_x, t_y $ formano con gli assi x, y .
Cosa intendi per soluzioni ?
Hai trovato le componenti del vettore gradiente , il suo modulo , l'angolo che forma con l'asse x ; cosa altro ?
Hai trovato le componenti del vettore gradiente , il suo modulo , l'angolo che forma con l'asse x ; cosa altro ?
Poi faccio il prodotto scalare tra il vettore gradiente trovato e $u$.
Dove la direzione del vettore $v=(0,24- 0.20)i + (0,24- 0.20)j = 0.04i+0.04j$
Quindi $u= (v)/|v|$ allora $u=(0,24- 0.20)/(sqrt(0.016 + 0.016)) = 0.22i + 0.22j$
Prodotto scalare:
$(0.11i + 0.2j)$*$ ( 0.22i + 0.22j ) = 0.068$ Ma non è c'é tale valore nelle proposte di soluzione...
Dove la direzione del vettore $v=(0,24- 0.20)i + (0,24- 0.20)j = 0.04i+0.04j$
Quindi $u= (v)/|v|$ allora $u=(0,24- 0.20)/(sqrt(0.016 + 0.016)) = 0.22i + 0.22j$
Prodotto scalare:
$(0.11i + 0.2j)$*$ ( 0.22i + 0.22j ) = 0.068$ Ma non è c'é tale valore nelle proposte di soluzione...
Per quest'ultimo sto provando da ore ma mi vengono cifre sbagliate rispetto a quelle che propone...
Quello che ho fatto "da solo" (diciamo il 2 problema) pensi vada bene?
Quello che ho fatto "da solo" (diciamo il 2 problema) pensi vada bene?
Non ho capito che cosa hai fatto . Ti riferisci sempre all'ultima funzione plottata ? di cui hai calcolato il gradiente in due punti diversi ? strano che venga un vettore gradiente uguale nei due punti che sono di coordinate rispettivamente
( 0.5;0.5) e ( 1; 0.6). Non ho proprio capito i conti che hai fatto dopo : hai sommato i due vettori gradiente relativi ai due punti ? per ottenere che cosa ??
( 0.5;0.5) e ( 1; 0.6). Non ho proprio capito i conti che hai fatto dopo : hai sommato i due vettori gradiente relativi ai due punti ? per ottenere che cosa ??
Si, non so bene che ho fatto nell'ultimo esercizio...
Perché in quest'ultimo mi chiede quanto vale il gradiente nel punto (1, 0.6) che nella figura è il punto nero.
Poi propone delle soluzioni sotto (coordinate x,y)...
Ci provo ma non riesco...
Perché in quest'ultimo mi chiede quanto vale il gradiente nel punto (1, 0.6) che nella figura è il punto nero.
Poi propone delle soluzioni sotto (coordinate x,y)...
Ci provo ma non riesco...
"Camillo":
Non ho capito che cosa hai fatto . Ti riferisci sempre all'ultima funzione plottata ? di cui hai calcolato il gradiente in due punti diversi ? strano che venga un vettore gradiente uguale nei due punti che sono di coordinate rispettivamente
( 0.5;0.5) e ( 1; 0.6). Non ho proprio capito i conti che hai fatto dopo : hai sommato i due vettori gradiente relativi ai due punti ? per ottenere che cosa ??
Si scusami.
In totale sono 3 esercizi:
Il primo l'hai svolto tu.
Il secondo ci ho provato io... Sperando possa andar bene.
Il terzo è uno nuovo che però è un po' diverso. Mi propone dei risultati e mi mette a disposizione il grafico delle curve con il gradiente. Devo trovare il valore del gradiente ma non ce la faccio. Arrivo fino alla funzione gradiente ma poi come mi riconduco ad una di quelle proposte di soluzione?
Se capisco questo penso di capire anche la teoria che sto studiando da 2 giorni riguardante gradienti, curve di levello e compagnia bella...
Alla fine dei conti sarà una cavolata... Ma niente, ancora non ci sono arrivato...
Fin qui son sicuro:
$f_x = (0.24-0.20)/(0.35) = 0.11$
$f_y = (0.24-0.20)/(0.2) = 0.2$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.11i + 0.2j$ Pendenza di 60° rispetto all'asse x
Poi?
Le sto provando tutte...
Come miii.. arrivo ad uno di questi valori? (dell'ultima figura di sopra)
$(0.091,−0.111)$ o $ (0.091, 0.111)$ o $ (0.064,−0.192)$ o $ (−0.064,−0.192)$
Fin qui son sicuro:
$f_x = (0.24-0.20)/(0.35) = 0.11$
$f_y = (0.24-0.20)/(0.2) = 0.2$
Vettore gradiente:
$grad(f(x,y))= 0.11i + 0.2j$ Pendenza di 60° rispetto all'asse x
Poi?
Le sto provando tutte...
Come miii.. arrivo ad uno di questi valori? (dell'ultima figura di sopra)
$(0.091,−0.111)$ o $ (0.091, 0.111)$ o $ (0.064,−0.192)$ o $ (−0.064,−0.192)$
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