Grafici e misura di Peano-Jordan
Salve a tutti. Continuo, come in ogni mio post, a scusarmi per la mia scarsissima attività: se qualche moderatore lo richiede, mi ri-presento immediatamente 
Volevo porvi un problema che mi si è presentato studiando per l'orale di Analisi 2. C'è un teorema (che penso non abbia un nome specifico) che asserisce che in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) il grafico di una funzione \(\displaystyle f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) Riemann-integrabile su \(\displaystyle \Omega \subset \mathbb{R}^{n-1} \) ha misura di Peano-Jordan nulla. Ora, nella dimostrazione che è fornita, ad esempio, sul mio libro di testo (Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2) si fa un uso particolarmente pesante dell'ipotesi di Riemann-integrabilità. Ed ecco qui sorgere il dubbio: cosa succede togliendo questa ipotesi? Esistono grafici di misura non nulla? Ovviamente, mi riferisco solo a grafici limitati.
Restringiamoci per semplicità ad \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Ovviamente tutti i grafici delle funzioni generalmente continue hanno misura nulla, perché esse sono Riemann-integrabili. Rimangono solo funzioni che abbiano un'infinità non numerabile di punti di discontinuità, che formi un insieme di misura non nulla. La prima cosa che mi è venuta in mente è stata qualcosa di simil-Dirichlet, ed ho pensato alla funzione:
\(\displaystyle \begin{cases} sin(\frac{1}{x}) \ x \in [-1, 1] \cap (\mathbb{Q} \setminus 0) \\ -sin(\dfrac{1}{x}) \ x \in [-1, 1] \setminus \mathbb{Q} \\ 0 \ x = 0 \end{cases} \)
che mi sembrava interessante perché è una funzione che sembra "riempire" tutto il quadrato \(\displaystyle [-1, 1] \times [-1, 1] \). I miei compagni di corso sono convinti che comunque il grafico abbia misura nulla, perché sostanzialmente si può vedere come "unione" di due grafici di funzioni Riemann-integrabili su \(\displaystyle [-1, 1] \) ma io non rimango convinto.
Qualcuno ha delle idee? Degli esempi di funzioni con grafico di misura non nulla?? Grazie in anticipo per l'attenzione, e scusate per le imprecisioni...
Volevo porvi un problema che mi si è presentato studiando per l'orale di Analisi 2. C'è un teorema (che penso non abbia un nome specifico) che asserisce che in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \) il grafico di una funzione \(\displaystyle f: \Omega \rightarrow \mathbb{R} \) Riemann-integrabile su \(\displaystyle \Omega \subset \mathbb{R}^{n-1} \) ha misura di Peano-Jordan nulla. Ora, nella dimostrazione che è fornita, ad esempio, sul mio libro di testo (Pagani-Salsa, Analisi Matematica 2) si fa un uso particolarmente pesante dell'ipotesi di Riemann-integrabilità. Ed ecco qui sorgere il dubbio: cosa succede togliendo questa ipotesi? Esistono grafici di misura non nulla? Ovviamente, mi riferisco solo a grafici limitati.
Restringiamoci per semplicità ad \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \). Ovviamente tutti i grafici delle funzioni generalmente continue hanno misura nulla, perché esse sono Riemann-integrabili. Rimangono solo funzioni che abbiano un'infinità non numerabile di punti di discontinuità, che formi un insieme di misura non nulla. La prima cosa che mi è venuta in mente è stata qualcosa di simil-Dirichlet, ed ho pensato alla funzione:
\(\displaystyle \begin{cases} sin(\frac{1}{x}) \ x \in [-1, 1] \cap (\mathbb{Q} \setminus 0) \\ -sin(\dfrac{1}{x}) \ x \in [-1, 1] \setminus \mathbb{Q} \\ 0 \ x = 0 \end{cases} \)
che mi sembrava interessante perché è una funzione che sembra "riempire" tutto il quadrato \(\displaystyle [-1, 1] \times [-1, 1] \). I miei compagni di corso sono convinti che comunque il grafico abbia misura nulla, perché sostanzialmente si può vedere come "unione" di due grafici di funzioni Riemann-integrabili su \(\displaystyle [-1, 1] \) ma io non rimango convinto.
Qualcuno ha delle idee? Degli esempi di funzioni con grafico di misura non nulla?? Grazie in anticipo per l'attenzione, e scusate per le imprecisioni...
Risposte
Mi sa che i compagni di corso hanno ragione. Il grafico della funzione che proponi è contenuto nell'unione dei grafici delle funzioni $\pm \sin(\frac{1}{x})$ e perciò ha misura nulla. Infatti un sottoinsieme di un insieme di misura nulla ha misura nulla, come è ovvio se pensi alla definizione.
Sì infatti, nel corso della giornata me ne sono convinto anche io 
Grazie comunque per la pronta risposta!
Il problema però rimane: esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ di misura non nulla che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
Grazie comunque per la pronta risposta!Il problema però rimane: esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ di misura non nulla che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
"pengo":
Il problema però rimane: esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ di misura non nulla che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
La risposta è no. Esistono tuttavia, come spiegato nel link, funzioni il cui grafico ha misura esterna positiva. Btw, domanda molto interessante, ottimo spunto di riflessione.
"pengo":
esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ di misura non nulla che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
Io direi che la risposta è sì, nel senso che esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ non misurabili che siano grafici di funzioni reali di variabile reale, limitati.
Ricordo che quando ho studiato questo argomento mi ero fatto la stessa domanda, ed ero arrivato a costruire un esempio di funzione definita in $[0,1]$ con grafico non misurabile secondo Peano-Jordan, senza usare l'assioma della scelta, che nemmeno conoscevo. L'idea è che per ogni intervallino piccolo quanto si voglia sull'asse $x$, la funzione assuma un'infinità di valori, densi su un intervallo; questo con l'assioma della scelta risulta facile, in quanto si può definire la funzione per casi, considerando come domini dei sottinsiemi densi di $RR$. Credo sia in sostanza ciò che viene suggerito nel link segnato da Paolo (che non ho letto per bene).
Non è possibile che un grafico di funzione abbia invece misura positiva, perchè dovrebbe contenere almeno un quadratino, ma il grafico non può contenere punti che abbiano la stessa ascissa e ordinate diverse, per la proprietà di univocità delle funzioni.
@ robbstark: se posso permettermi un commento, io credo tu abbia risposto a un'altra domanda, differente da quella dell'OP.
Un conto è chiedere:
Altra cosa è chiedere:
Aggiungo inoltre che io ho comunque subito pensato alla misura di Lebesgue, più che alla "misura" di PJ (che non è una misura nel senso proprio del termine).
Un conto è chiedere:
"pengo":
[...] esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ di misura non nulla che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
Altra cosa è chiedere:
esistono sottinsiemi di $ \mathbb{R}^2 $ non misurabili che siano grafici di funzioni reali di variabile reale?
Aggiungo inoltre che io ho comunque subito pensato alla misura di Lebesgue, più che alla "misura" di PJ (che non è una misura nel senso proprio del termine).
[ot]Siccome il teorema citato dice che i grafici di funzioni hanno misura nulla, sotto certe ipotesi, ho ritenuto che la domanda fosse sull'esistenza di grafici di funzioni che siano insiemi non di misura nulla, quindi ho risposto che esistono perchè gli insiemi non misurabili non hanno misura nulla.
Giustamente fai notare che è scritto "di misura non nulla" e non "non di misura nulla", quindi potrei avere male interpretato. Comunque mi pare una sottigliezza linguistica, nella sostanza credo che abbiamo detto le stesse cose.[/ot]
Giustamente fai notare che è scritto "di misura non nulla" e non "non di misura nulla", quindi potrei avere male interpretato. Comunque mi pare una sottigliezza linguistica, nella sostanza credo che abbiamo detto le stesse cose.[/ot]
"robbstark":
Non è possibile che un grafico di funzione abbia invece misura positiva, perchè dovrebbe contenere almeno un quadratino,
Perché? Sei sicuro? Forse parli di misura di Peano-Jordan?
Parlo di misura di Peano-Jordan.
[ot]Oltre a essere quella a cui si fa riferimento nel primo post, è anche l'unica che ho studiato, purtroppo. Qualche anno fa ho letto qualcosa sulla misura di Lebesgue, ma al momento non ricordo bene. Spero di potere riapprofondire prima o poi; sono argomenti che mi incuriosiscono molto.[/ot]
[ot]Oltre a essere quella a cui si fa riferimento nel primo post, è anche l'unica che ho studiato, purtroppo. Qualche anno fa ho letto qualcosa sulla misura di Lebesgue, ma al momento non ricordo bene. Spero di potere riapprofondire prima o poi; sono argomenti che mi incuriosiscono molto.[/ot]
Cavolo, questa era proprio una cosa su cui non avevo mai riflettuto. Un insieme (prendiamolo limitato) misurabile secondo PJ ha misura nulla sse ha interno vuoto. Che roba!
Queste evidentemente sono le patologie che derivano dal considerare content e non misure, cioè funzioni solo finitamente additive. Infatti, per la misura di Lebesgue è ben noto che questo non vale (gli irrazionali in $[0,1]$ hanno interno vuoto ma misura 1!).
Queste evidentemente sono le patologie che derivano dal considerare content e non misure, cioè funzioni solo finitamente additive. Infatti, per la misura di Lebesgue è ben noto che questo non vale (gli irrazionali in $[0,1]$ hanno interno vuoto ma misura 1!).
Ah capisco. Con la misura di P.J. quanto affermi (un insieme di misura positiva contiene un quadratino) è vero, mentre con la misura di Lebesgue evidentemente no, basta prendere l'insieme dei numeri irrazionali.
Comunque consiglio questa risorsa sulla misura di Lebesgue;
http://terrytao.wordpress.com/2010/09/0 ... e-measure/
Comunque consiglio questa risorsa sulla misura di Lebesgue;
http://terrytao.wordpress.com/2010/09/0 ... e-measure/
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