Gradiente ortogonale alle linee di livello
Salve a tutti,
mi trovo in difficoltà nell'esecuzione di questo esercizio, ovvero lo scrivere le linee di livello di $ f(x,y)=ln (x^2+y^2) $ , ovvero $ x^2 + y^2 = e^k $, e verificare che il gradiente della funzione sia perpendicolare a queste ultime.
Abbiamo trattato poco quest'ultimo argomeno e mi viene difficile non avendo esempi su cui basarmi, potete darmi una mano?
Grazie in anticipo
mi trovo in difficoltà nell'esecuzione di questo esercizio, ovvero lo scrivere le linee di livello di $ f(x,y)=ln (x^2+y^2) $ , ovvero $ x^2 + y^2 = e^k $, e verificare che il gradiente della funzione sia perpendicolare a queste ultime.
Abbiamo trattato poco quest'ultimo argomeno e mi viene difficile non avendo esempi su cui basarmi, potete darmi una mano?
Grazie in anticipo
Risposte
Il fatto che il gradiente sia ortogonale in ogni punto alle curve di livello è un risultato di validità generale per i campi scalari in $\RR^2$
Comunque, se vuoi verificarlo per la tua funzione in particolare, puoi procedere in questo modo:
Le curve di livello del grafico di $f$, individuate al variare di $k$ dall'equazione $ x^2 + y^2 = e^k $, sono delle circonferenze centrate nell'origine, con raggio $ r = e^{ \frac {k} {2} } $
Ogni curva di livello può essere allora descritta utilizzando la parametrizzazione $ \vec phi(t) = ( e^{ \frac {k} {2}} cos(t) , e^{ \frac {k} {2}} sin(t) ) $.
Calcoliamo il vettore tangente alla curva in un punto generico $\vec v(t) = \frac {d} {dt} \vec phi(t) = ( -e^{ \frac {k} {2}} sin(t) , e^{ \frac {k} {2}} cos(t) )$
Il gradiente del campo scalare è $\nabla f(x,y) = ( \frac {2x} {x^2 + y^2}, \frac {2y} {x^2 + y^2} )$
Calcoliamo quindi il gradiente in un punto generico della curva (sostituendo le componenti della curva nell'espressione del gradiente) $ \nabla f(phi_1,phi_2) = ( \frac {2 cos(t)} {e^{ \frac {k} {2}}}, \frac {2 sin(t)} {e^{ \frac {k} {2}}} )$
Infine calcoliamo il prodotto scalare tra gradiente e vettore tangente alla curva
$ < \nabla f(phi_1,phi_2), \vec v(t) > = -2sin(t)cos(t) + 2 sin(t) cos(t) = 0$
Il prodotto scalare è nullo, pertanto i due vettori sono ortogonali
Comunque, se vuoi verificarlo per la tua funzione in particolare, puoi procedere in questo modo:
Le curve di livello del grafico di $f$, individuate al variare di $k$ dall'equazione $ x^2 + y^2 = e^k $, sono delle circonferenze centrate nell'origine, con raggio $ r = e^{ \frac {k} {2} } $
Ogni curva di livello può essere allora descritta utilizzando la parametrizzazione $ \vec phi(t) = ( e^{ \frac {k} {2}} cos(t) , e^{ \frac {k} {2}} sin(t) ) $.
Calcoliamo il vettore tangente alla curva in un punto generico $\vec v(t) = \frac {d} {dt} \vec phi(t) = ( -e^{ \frac {k} {2}} sin(t) , e^{ \frac {k} {2}} cos(t) )$
Il gradiente del campo scalare è $\nabla f(x,y) = ( \frac {2x} {x^2 + y^2}, \frac {2y} {x^2 + y^2} )$
Calcoliamo quindi il gradiente in un punto generico della curva (sostituendo le componenti della curva nell'espressione del gradiente) $ \nabla f(phi_1,phi_2) = ( \frac {2 cos(t)} {e^{ \frac {k} {2}}}, \frac {2 sin(t)} {e^{ \frac {k} {2}}} )$
Infine calcoliamo il prodotto scalare tra gradiente e vettore tangente alla curva
$ < \nabla f(phi_1,phi_2), \vec v(t) > = -2sin(t)cos(t) + 2 sin(t) cos(t) = 0$
Il prodotto scalare è nullo, pertanto i due vettori sono ortogonali
Grazie mille v3ct0r, ora ho capito meglio come fare il tutto.
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