Gradiente e differenziale

[FreshBuddy]

ciao!
ho appena iniziato il corso di analisi 2 e ancuni concetti non mi sono molto chiari:
il gradiente di cui conosco la definizione formale ma non ho capito il perche' della sua ortogonalita' con la tangente alla curva di livello
poi volevo sapere se la differenziabilita' implica l'esistenza del piano tangente alla curva e viceversa(premetto che conosco le condizioni necessarie e suff per la differenziabilita')
grazie

[fireball1]

Dire che una funzione di un sottoinsieme
di $RR^2$ a valori in $RR$ è differenziabile
in un certo punto del dominio
è equivalente a dire che esiste il piano
tangente al grafico della funzione nel punto $(x,y,f(x,y))$.

[Luca D.1]

"FreshBuddy":ciao!
ho appena iniziato il corso di analisi 2 e ancuni concetti non mi sono molto chiari:
il gradiente di cui conosco la definizione formale ma non ho capito il perche' della sua ortogonalita' con la tangente alla curva di livello

Considera una funzione in due variabili $f(x, y)$ differenziabile in $R^2$ e immagina di muoverti lungo una sua curva di livello.. per definizione la f assumerà sempre lo stesso valore, ok? Supponiamo che tale curva di livello ammetta una parametrizzazione regolare (cioè il vettore tangente alla curva non è identicamente nullo) e chiamiamola $phi(t) = (x(t), y(t))$
Abbiamo quindi detto che la f valutata lungo tale curva ha sempre lo stesso valore: $f(phi(t)) = f(x(t), y(t)) = c$
Chiamando $g(t) = f(phi(t))$ abbiamo che $g(t) = c$ e quindi $g'(t) = 0$
Ma $g'(t) = = 0$
Concludiamo che affinchè un prodotto scalare sia nullo, i vettori devono essere perpendicolari (ovviamente se non sono entrambi nulli, ma questo lo sappiamo per ipotesi).

"FreshBuddy":poi volevo sapere se la differenziabilita' implica l'esistenza del piano tangente alla curva e viceversa(premetto che conosco le condizioni necessarie e suff per la differenziabilita')
grazie

Certo. E occhio che puoi scrivere l'equazione del "piano tangente" anche se questo non esiste, in quanto possono esistere le derivate parziali ma la funzione non essere differenziabile.
Ciao

[FreshBuddy]

scusa che intendi per vettore tg non identicamente nullo?

[Luca D.1]

"FreshBuddy":scusa che intendi per vettore tg non identicamente nullo?

Una curva si dice regolare se la sua derivata (vettore tangente) è sempre diversa dal vettore nullo: nel nostro caso $phi'(t) != (0, 0) AA t$

[FreshBuddy]

grazie ora mi è piu' chiaro!

[Luca D.1]

"FreshBuddy":grazie ora mi è piu' chiaro!

Sono contento perchè anche a me la cosa aveva lasciato perplesso all'inizio di Analisi 2.. ora il prossimo passo è "vedere" il significato dei moltiplicatori di Lagrange, ma ne riparliamo fra un pò di tempo!
Ciao!

[FreshBuddy]

scusa ho un altro dubbio:
phi'(t) corrisponde al vettore tangente alla curva di livello,ma cosa rappresenta rispetto al grafico in R^3 di f(x,y)?

[Luca D.1]

"FreshBuddy":scusa ho un altro dubbio:
phi'(t) corrisponde al vettore tangente alla curva di livello,ma cosa rappresenta rispetto al grafico in R^3 di f(x,y)?

Tu stai valutando la $f$ lungo la curva di livello della $g$, quindi ti muovi lungo $phi(t)$, di cui $phi'(t)$ è la sua tangente. Viene tirata in ballo la tangente perchè è rilevante "scoprire" la perpendicolarità tra essa e tra il gradiente di $f$ (e anche tra essa e il gradiente di $g$).

[FreshBuddy]

ok ,e quando si dice che il gradiente corrisponde alla massima pendenza della funzione che cosa si intende?

[Luca D.1]

"FreshBuddy":ok ,e quando si dice che il gradiente corrisponde alla massima pendenza della funzione che cosa si intende?

Proprio quello che dici, o meglio, corrisponde alla direzione lungo la quale la f ha massima pendenza..
Hai già affrontato le derivate direzionali? Se la funzione è differenziabile, la derivata direzionale lungo v (versore) si può esprimere come combinazione lineare delle derivate parziali, quindi: $D_vf(x_0, y_0) = $
Quand'è che un prodotto scalare assume il valore maggiore? Quando i due vettori sono paralleli (dove il segno dipende dal verso dei due vettori); quindi il prodtto scalare che abbiamo scritto assumerà valore massimo quando v è parallelo al gradiente.. in altre parole lungo la direzione del gradiente la f ha variazione maggiore.