Gradiente e derivate
Ciao a tutti
Sia $f:E->RR$ con E aperto, $EsubeRR^n$,
Considero $xiinRR^n$ vettore e prendo la sua derivata vettoriale in $x_0inRR^n$ definita come:
$lim_(tto0)(f(x_0+txi)-f(x_0))/t$
Che tralaltro, usando il gradiente, diventa:
\(\bigtriangledown f(x_0)*\xi \)
Espressa in prodotto scalare.
Però mi chiedo: il prodotto scalare in generale dipende dal modulo del vettore ovviamente, mentre per l'idea che ho della derivata vettoriale quello che conta dovrebbe essere la direzione del vettore $xi$ e non il modulo.
Allora che relazione c'è tra modulo del vettore e derivata vettoriale?
Grazie
Sia $f:E->RR$ con E aperto, $EsubeRR^n$,
Considero $xiinRR^n$ vettore e prendo la sua derivata vettoriale in $x_0inRR^n$ definita come:
$lim_(tto0)(f(x_0+txi)-f(x_0))/t$
Che tralaltro, usando il gradiente, diventa:
\(\bigtriangledown f(x_0)*\xi \)
Espressa in prodotto scalare.
Però mi chiedo: il prodotto scalare in generale dipende dal modulo del vettore ovviamente, mentre per l'idea che ho della derivata vettoriale quello che conta dovrebbe essere la direzione del vettore $xi$ e non il modulo.
Allora che relazione c'è tra modulo del vettore e derivata vettoriale?
Grazie
Risposte
La derivata direzionale dipende da tutto il vettore $xi$, modulo, direzione e verso.
"gugo82":
La derivata direzionale dipende da tutto il vettore $xi$, modulo, direzione e verso.
Grazie ma in che modo? Forse è proporzionale al modulo pur rimenendo un multiplo della derivata direzionale del vettore di modulo 1??
In generale, la dipendenza non si può esplicitare decentemente.
Tuttavia, se $f$ è $C^1$, allora vale la formula del gradiente ed hai:
$(partial f)/(partial xi)(x_0) = nabla f (x_0) * xi = |nabla f(x_0)| * |xi| * cos theta$
in cui $theta$ è l'angolo formato da gradiente e vettore $xi$.
Tuttavia, se $f$ è $C^1$, allora vale la formula del gradiente ed hai:
$(partial f)/(partial xi)(x_0) = nabla f (x_0) * xi = |nabla f(x_0)| * |xi| * cos theta$
in cui $theta$ è l'angolo formato da gradiente e vettore $xi$.
Puoi vederla così: gli incrementi sulla retta $x+ span(\xi)$ hanno come unità di misura $|\xi|$.
Ora considera la funzione ottenuta sezionando il grafico di $f$, $g(t) = f(x+t\xi)$. Se, ad esempio, aumenti $|\xi|$ è come se rimpicciolissi il grafico di g e quindi ti sembrerà più ripido e infatti se $k> 1$ allora $|\partial_{k\xi}f(x) |= k| \partial_{\xi}f(x)| >| \partial_{\xi}f(x)| $ ( a patto che $\partial_{\xi}f(x) \ne 0$).
Più concretamente, se prendi $\xi' = 2\xi$ allora a $t=1$ corrisponderà nel primo grafico $f(x+\xi)$, nel secondo $f(x+2\xi)$, a $t=1/2$ corrisponderanno $f(x+\xi/2)$ e $f(x+\xi)$ rispettivamente e cosi via.
Similmente se diminuisci $|\xi|$ è come se ingrandissi il grafico di $g$ e quindi la derivata diminuisce (in modulo).
Se poi prendi $\xi' = -\xi$ allora la derivata cambierà di segno perché è come se stessi percorrendo il grafico nell'altro verso.
Ora considera la funzione ottenuta sezionando il grafico di $f$, $g(t) = f(x+t\xi)$. Se, ad esempio, aumenti $|\xi|$ è come se rimpicciolissi il grafico di g e quindi ti sembrerà più ripido e infatti se $k> 1$ allora $|\partial_{k\xi}f(x) |= k| \partial_{\xi}f(x)| >| \partial_{\xi}f(x)| $ ( a patto che $\partial_{\xi}f(x) \ne 0$).
Più concretamente, se prendi $\xi' = 2\xi$ allora a $t=1$ corrisponderà nel primo grafico $f(x+\xi)$, nel secondo $f(x+2\xi)$, a $t=1/2$ corrisponderanno $f(x+\xi/2)$ e $f(x+\xi)$ rispettivamente e cosi via.
Similmente se diminuisci $|\xi|$ è come se ingrandissi il grafico di $g$ e quindi la derivata diminuisce (in modulo).
Se poi prendi $\xi' = -\xi$ allora la derivata cambierà di segno perché è come se stessi percorrendo il grafico nell'altro verso.
Grazie mille siete stati chiarissimi 
Perché quella formula sia valida, faccio notare all'OP che $f$ deve essere differenziabile nel punto di interesse
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