Gradiente di un campo vettoriale
Ciao a tutti.
Ho qualche difficoltà a capire come si calcola e il significato "fisico" del gradiente di un campo vettoriale.
Qualcuno sa aiutarmi?
È correlato con la matrice jacobiana di un campo vettoriale?
Grazie.
Ho qualche difficoltà a capire come si calcola e il significato "fisico" del gradiente di un campo vettoriale.
Qualcuno sa aiutarmi?
È correlato con la matrice jacobiana di un campo vettoriale?
Grazie.
Risposte
Ciao, tieni presente che il gradiente di un vettore $u(u_1, u_2, u_3)$ si scrive $\nabla u=(\partialu_j)/(\partial x_i)e_ie_j$, oppure come matrice jacobiana $(\partial(u_1,u_2,u_3))/(\partial(x_1,x_2,x_3))$
Grazie per la risposta.
Ma il suo significato qual è? Cosa rappresenta?
Ma il suo significato qual è? Cosa rappresenta?
Il gradiente del campo vettoriale e la matrice jacobiana del campo vettoriale sono la stessa cosa.
Il gradiente di un campo vettoriale dovrebbe essere un campo tensoriale.
Stai studiando Relatività?
Stai studiando Relatività?
Salve, qualcuno può spiegarmi, magari con un esempio, come è possibile applicare l'operatore gradiente ad un campo vettoriale? L'operatore gradiente non lavora solo su campi scalari?
Anche a me sembra un po' forzata l'equivalenza tra gradiente e jacobiano, ma forse si può usare lo stesso.
Se ad esempio abbiamo un campo vettoriale $f:RR^3 -> RR^3$, lo jacobiano è una matrice formata dai gradienti delle componenti:
$Jf = ((\nabla f_1),(\nabla f_2),(\nabla f_3))$
Se ad esempio abbiamo un campo vettoriale $f:RR^3 -> RR^3$, lo jacobiano è una matrice formata dai gradienti delle componenti:
$Jf = ((\nabla f_1),(\nabla f_2),(\nabla f_3))$
Di solito, quando si parla di "gradiente" di una campo vettoriale, si intende il gradiente delle sue componenti.
Detto meglio, se \(F:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M\) allora \(\nabla F(x)\) è la matrice \(M\times N\) che ha per righe i gradienti delle componenti di \(F\): se \(F(x)=(f_1(x_1,\ldots x_N),\ldots ,f_M(x_1,\ldots ,x_N))\), allora:
\[
\nabla F(x)=\begin{pmatrix} \nabla f_1 (x_1,\ldots, x_N)\\
\vdots\\
\nabla f_M (x_1,\ldots, x_M)
\end{pmatrix} = \frac{\partial (f_1,\ldots ,f_M)}{\partial (x_1,\ldots ,x_N)}\; .
\]
Allo stesso modo funziona per il "laplaciano": il laplaciano di un campo è il vettore di lunghezza \( M\) che ha per componenti i laplaciani delle componenti del campo:
\[
\Delta F(x) = (\Delta f_1(x),\ldots , \Delta f_M (x))\; .
\]
Detto meglio, se \(F:\mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^M\) allora \(\nabla F(x)\) è la matrice \(M\times N\) che ha per righe i gradienti delle componenti di \(F\): se \(F(x)=(f_1(x_1,\ldots x_N),\ldots ,f_M(x_1,\ldots ,x_N))\), allora:
\[
\nabla F(x)=\begin{pmatrix} \nabla f_1 (x_1,\ldots, x_N)\\
\vdots\\
\nabla f_M (x_1,\ldots, x_M)
\end{pmatrix} = \frac{\partial (f_1,\ldots ,f_M)}{\partial (x_1,\ldots ,x_N)}\; .
\]
Allo stesso modo funziona per il "laplaciano": il laplaciano di un campo è il vettore di lunghezza \( M\) che ha per componenti i laplaciani delle componenti del campo:
\[
\Delta F(x) = (\Delta f_1(x),\ldots , \Delta f_M (x))\; .
\]
sul libro di maxwell c'è scritto che applicando il gradiente a un campo vettoriale vengono fuori due funzioni: la prima, campo scalare, detta CONVERGENCE e la seconda, c.v., detta CURL....che ne pensi? Grazie.
Penso che Maxwell scriveva più di un secolo fa, quindi la terminologia era diversa da quella odierna (ed il rigore nella presentazione pure): convergence non l'ho mai sentita, ad esempio... Sarà caduta in disuso.
Inoltre, curl è il rotore.
Se vuoi capirci qualcosa, ti consiglio di cercare un buon libro di Calcolo Vettoriale scritto di recente.
Inoltre, curl è il rotore.
Se vuoi capirci qualcosa, ti consiglio di cercare un buon libro di Calcolo Vettoriale scritto di recente.
scusate l'ignoranza, ma non capisco quale sia l'operazione che si applichi quando si calcola il gradiente di un campo vettoriale. Personalmente conosco:
- prodotto tra vettore e scalare; nel nostro caso $ \nabla f $
- prodotto scalare tra vettori; nel nostro caso $ \nabla \cdot F= sum_(i = 1 to 3)partial _i F_i $
- prodotto vettoriale tra vettori; nel nostro caso $ \nabla \wedge F= | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( partial_x , partial_y , partial_z ),(F_x , F_y , F_z ) | $
ma non ne conosco altre. nessuna di queste mi sembra applicabile nella circostanza discussa (anche perché nessuna restituisce una matrice)
Dov'è la mia carenza? ho pensato ad una sorta di prodotto tensoriale ma non mi sembra applicabile (visto che lo conosco solo tra due spazi vettoriali). grazie mille!
- prodotto tra vettore e scalare; nel nostro caso $ \nabla f $
- prodotto scalare tra vettori; nel nostro caso $ \nabla \cdot F= sum_(i = 1 to 3)partial _i F_i $
- prodotto vettoriale tra vettori; nel nostro caso $ \nabla \wedge F= | ( hat(i) , hat(j) , hat(k) ),( partial_x , partial_y , partial_z ),(F_x , F_y , F_z ) | $
ma non ne conosco altre. nessuna di queste mi sembra applicabile nella circostanza discussa (anche perché nessuna restituisce una matrice)
Dov'è la mia carenza? ho pensato ad una sorta di prodotto tensoriale ma non mi sembra applicabile (visto che lo conosco solo tra due spazi vettoriali). grazie mille!
Negli interventi precedenti è già stato spiegato. Il gradiente di un campo vettoriale è la matrice jacobiana, o, se preferisci, la matrice che rappresenta il differenziale rispetto alle basi canoniche. Non c'è nulla da "capire", è solo questione di nomenclatura/notazione.
Perdonami per l'insistenza: io ho copiato COSA È, non ho capito COME SI FA. Mi spiegò meglio: so scrivere una matrice jacobiana, anche di un campo vettoriale; solo non sapevo che si potesse scrivere in questo modo; scriverlo in questo modo mi turba, perché, ripeto, non capisco quale operazione si applichi. Ovvero la domanda "COME SI FA?", da un punto di vista algebrico, si traduce nella domanda "QUALE OPERAZIONE SI DEVE APPLICARE PER OTTENERE QUESTO RISULTATO?"
"Grkuanti":
solo non sapevo che si potesse scrivere in questo modo; scriverlo in questo modo mi turba...
Quale scrittura ti turba? Non capisco.
"Grkuanti":
... non capisco quale operazione si applichi.
Cosa significa? Quella di derivazione parziale, direi, ma non è questa la risposta che cerchi.
Forse vedi vedi queste espressioni in termini di nabla? Vuoi sapere qual'é l'operatore differenziale che quest'operazione definisce?
Ok, cercherò di essere più chiaro possibile: guardando al mio primo commento, ho scritto: nabla f: l'operazione è il prodotto tra un vettore e uno scalare, la cui esistenza è richiesta nella definizione di spazio vettoriale stesso e che RESITUISCE UN VETTORE.
poi ho scritto nabla scalar F: l'operazione è il prodotto scalare tra due vettori, la cui esistenza definisce gli spazi euclidei e che RESTITUISCE UN NUMERO.
infine ho scritto nabla vector F: l'operazione è il prodotto vettoriale tra due vettori, la cui esistenza è garantita dall'esistenza del determinante e che si può fare (che io sappia, ma qui potrei tranquillamente sbagliare) tra vettori di tre componenti; questa operazione tra due vettori RESTITUISCE UN VETTORE.
qui si parla di fare "nabla ? F" dove ? è evidentemente l'operazione di cui ignoro l'esistenza e definita in modo che, dati due vettori, restituisce una matrice. La domanda è:quale è questa operazione? Spero di essere stato sufficientemente chiaro; grazie per la pazienza
poi ho scritto nabla scalar F: l'operazione è il prodotto scalare tra due vettori, la cui esistenza definisce gli spazi euclidei e che RESTITUISCE UN NUMERO.
infine ho scritto nabla vector F: l'operazione è il prodotto vettoriale tra due vettori, la cui esistenza è garantita dall'esistenza del determinante e che si può fare (che io sappia, ma qui potrei tranquillamente sbagliare) tra vettori di tre componenti; questa operazione tra due vettori RESTITUISCE UN VETTORE.
qui si parla di fare "nabla ? F" dove ? è evidentemente l'operazione di cui ignoro l'esistenza e definita in modo che, dati due vettori, restituisce una matrice. La domanda è:quale è questa operazione? Spero di essere stato sufficientemente chiaro; grazie per la pazienza
Tu affermi che nabla è un vettore. Come immagino saprai, i vettori sono elementi di uno spazio vettoriale, che ha sua volta è costruito su un campo di scalari. Io ti chiedo, nabla a che spazio vettoriale appartiene? Inoltre, questo spazio vettoriale su quale campo di scalari è costruito?
Come dice Emar, usare \(\nabla\) come se fosse un vettore può talvolta essere comodo, ma può anche portare a conseguenze sbagliate: viewtopic.php?p=476846#p476846
grazie!!!
mi pare di capire dunque da quanto leggo nel link qui ripostato che le scritture $ \nabla \cdot F $ e $ \nabla \xx F $ al posto delle (rispettivamente) $ "div" F $ e $ "rot" F $ siano solo delle comodità di scrittura m formalmente non corrette!
P.s. mi scuso se ero scomparso, ma le questioni poste mi avevano messo in difficoltà e stavo studiando vecchie dispense per trovare delle risposte ma sono anche sotto esami e di tempo ne ho poco!
Grazie ancora a tutti e due!!!
mi pare di capire dunque da quanto leggo nel link qui ripostato che le scritture $ \nabla \cdot F $ e $ \nabla \xx F $ al posto delle (rispettivamente) $ "div" F $ e $ "rot" F $ siano solo delle comodità di scrittura m formalmente non corrette!
P.s. mi scuso se ero scomparso, ma le questioni poste mi avevano messo in difficoltà e stavo studiando vecchie dispense per trovare delle risposte ma sono anche sotto esami e di tempo ne ho poco!
Grazie ancora a tutti e due!!!
Il mio precedente intervento voleva farti ragionare sulla natura del "vettore" $\nabla$ per farti capire appunto che, anche se talvolta è utile vederlo in quel modo, un vettore non è.
In questo e altri contesti (vedesi geometria differenziale) la cosa migliore, come insegnatomi a suo tempo da dissonance, è utilizzare la notazione ad indici e "fare i conti in coordinate". A prima vista può sembrare poco elegante ma quelle formule sono oggettive e parlano da sole laddove quelle più "pulite" e sintetiche invece no.
In questo e altri contesti (vedesi geometria differenziale) la cosa migliore, come insegnatomi a suo tempo da dissonance, è utilizzare la notazione ad indici e "fare i conti in coordinate". A prima vista può sembrare poco elegante ma quelle formule sono oggettive e parlano da sole laddove quelle più "pulite" e sintetiche invece no.
Ciao a tutti, approfitto di questo topic per porvi un mio dubbio sul tema "gradiente di un vettore".
Studiando Fisica dei Plasmi, mi sono imbattuto sul mio libro di testo (Introduction to Plasma Physics - R. J. Goldston) in questa scrittura:
\( (\vec B \cdot \nabla)\vec B = B(\hat b \cdot \nabla)(B \hat b) = B^2 (\hat b \cdot \nabla)\hat b + \hat b(\hat b \cdot \nabla)\dfrac{B^2}{2} \)
dove $\vec B$ è un campo magnetico.
Dunque, il primo passaggio mi è abbastanza chiaro: scompone il campo $\vec B$ in una componente scalare $B(x,y,z)$ e in una componente vettoriale $\hat b$, che è un versore.
Poi, l'applicazione dell'operatore $\nabla$ sul prodotto $B \hat b$ produce i due termini sommati a destra.
Il secondo termine della somma viene fuori da $B \nabla B = \nabla \frac{B^2}{2}$, e la scrittura $\hat b \cdot \nabla B^2$ non mi urta più di tanto: stiamo facendo il prodotto scalare tra un versore e il gradiente di un campo scalare.
Quello che mi urta invece è il primo termine di quella somma: che cosa rappresenta $\nabla \hat b$?
Il gradiente di un vettore dovrebbe essere un altro vettore composto dalle derivate delle componenti del vettore, giusto? Ma se io derivo le componenti di un versore, che hanno tutte modulo 1, non ottengo $(0,0,0)$?
Grazie, e scusate se ho scritto delle castronerie
Studiando Fisica dei Plasmi, mi sono imbattuto sul mio libro di testo (Introduction to Plasma Physics - R. J. Goldston) in questa scrittura:
\( (\vec B \cdot \nabla)\vec B = B(\hat b \cdot \nabla)(B \hat b) = B^2 (\hat b \cdot \nabla)\hat b + \hat b(\hat b \cdot \nabla)\dfrac{B^2}{2} \)
dove $\vec B$ è un campo magnetico.
Dunque, il primo passaggio mi è abbastanza chiaro: scompone il campo $\vec B$ in una componente scalare $B(x,y,z)$ e in una componente vettoriale $\hat b$, che è un versore.
Poi, l'applicazione dell'operatore $\nabla$ sul prodotto $B \hat b$ produce i due termini sommati a destra.
Il secondo termine della somma viene fuori da $B \nabla B = \nabla \frac{B^2}{2}$, e la scrittura $\hat b \cdot \nabla B^2$ non mi urta più di tanto: stiamo facendo il prodotto scalare tra un versore e il gradiente di un campo scalare.
Quello che mi urta invece è il primo termine di quella somma: che cosa rappresenta $\nabla \hat b$?
Il gradiente di un vettore dovrebbe essere un altro vettore composto dalle derivate delle componenti del vettore, giusto? Ma se io derivo le componenti di un versore, che hanno tutte modulo 1, non ottengo $(0,0,0)$?
Grazie, e scusate se ho scritto delle castronerie
Devi considerare $hat b\cdot \nabla$, non solo $\nabla$. E' un operatore che agisce su vettori e restituisce vettori. Scrivilo in coordinate, in questi casi è sempre la cosa migliore da fare
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