Gradiente di funzione e regola della catena

[Mito125]

Data la funzione $h(x,y,z) = f(x+y^2 +z^3,cos(3x^2 +y^3) +3xy+2z,g(x^3,y,x)$ calcolare il gradiente $\grad h(x_0,y_0,z_0)$

Io ho fatto queste sostituzioni $f(s,t,u),s=x+y^2+z^3,t=cos(3x^2+y^3)+3xy+2z,u=g(x^3,y,x)=g(g_1,g_2,g_3)$ quindi sono andato a calcolare le derivate parziali:

$(\partial h)/(\partial x)=(\partial f)/(\partial s)+(\partial f)/(\partial t)(-6x sen(3x^2+y^3)+3y)+(\partial f)/(\partial u)(\partial g)/(\partial g_1)(3x^2)+(\partial f)/(\partial u)(\partial g)/(\partial g_3)$

Non sviluppo le altre due derivate parziali, anche perchè si procede sempre identicamente... Quindi scrivo la soluzione come:

$\grad h(x_0,y_0,z_0) = ((\partial h)/(\partial x)(x_0,y_0,z_0),(\partial h)/(\partial y)(x_0,y_0,z_0),(\partial h)/(\partial z)(x_0,y_0,z_0))$

Questa invece la soluzione che mi viene proposta scritta in altra forma che io non riesco a capire...

Posto $u(x,y,z)=x+y^2+z^3,v(x,y,z)=cos(3x^2+y^3)+3xy+2z,w(x,y,z)=g(x^3,y,x)$
Inoltre $u_o=u(x_o,y_o,z_o),v_0=v(x_o,y_o,z_o),w_0=g(x_o^3,y_o,z_o)$ segue

$(\partial h)/(\partial x)(x_0,y_0,z_0)=(\partial f)/(\partial u)(u_0,v_0,w_0)+(\partial f)/(\partial v)(u_0,v_0,w_0)(3y_0-6sen(3x_0^2+y_0^3)x_o)+$
$+(\partial f)/(\partial w)(u_0,v_0,w_0)[(\partial g)/(\partial x)(x_o^3,y_o,z_o)+(\partial g)/(\partial z)(x_o^3,y_o,z_o)]$

Stessa cosa per le altre due derivate... Si nota subito la differenza fra la mia derivata parziale e la derivata parziale del risultato fornito... Ma la mia soluzione non va proprio bene(sopratutto formalmente)???

[ciampax]

La derivata corretta è questa

$h_x=f_s\cdot s_x+f_t\cdot t_x+f_u\cdot g_x=f_s+f_t[-6x\cos(3x^2+y^3)+3y]+f_u[g'_1\cdot (x^3)'+g'_3\cdot(x)']$

e quindi

$h_x=f_s+f_t[-6x\cos(3x^2+y^3)+3y]+f_u[3x^2 g'_1+g'_3]$

[Mito125]

Che differenza c'è fra le varie scritture??? Soprattutto perchè nella tua e nella mia non compare mai $x_0,y_0,z_0$ mentre in quella del prof si???

[ciampax]

nessuna differenza, solo praticità: mi rompo a mettere il simbolo di derivazione e le variabili in cui calcolare.
Se vuoi, prendi quello che ho scritto io e sostituisci $x\to x_0$ e via discorrendo. Inoltre scrivi, ad esempio,

$f_s\to {\partial f}/{\partial s}(x_0+y_0^2+z_0^3,...)$

Perdonami ma mi viene l'orticaria a metterci tutte le coordinate del punto.

[Mito125]

Scusa ma io non ho capito la tua scrittura... Quei puntini in parentesi sopratutto... Potresti magari scrivermi completo $f_t$ ed ancora meglio $f_u$ che presenta una funzione al suo interno???

Ma poi non potrebbe andare bene la mia scrittura del gradiente??? Non si può fare come l'hessiana??? Dove prima calcoli le derivate "pure" e poi sostituisci i punti critici scrivendo semplicemente $H_(f(x_0,y_0))$???

[ciampax]

Ma mi spieghi cosa c'è da capire? Scusami, prendiamo una derivata in una variabile e consideriamo la funzione $y=f(x)$. La derivata devi calcolarla in $x_0$ per cui scrivi $f'(x_0)$: io, semplicemente, ho scritto $f'$. Chiaro?
Quello che mi sembra errato nella tua di scrittura è che tu indichi delle derivate parziali di $g$ rispetto alle $g_i$ che puoi riscrivere molto più comodamente come derivate prime rispetto ad $x$ usando la regola della catena.