Gradiente di funzione composta
Riposto nella sezione corretta, scusate.
Ciao a tutti,
devo risolvere il seguente problema sul gradiente di una funzione composta:
Sia $f:RR^3 →RR$ di classe $C1$ tale che $∇f(2,0,0)=(1,1,2)$. Sia $g:RR^2→RR^3$ definita da $g(x,y)=(xy+y,x^2−x,x^3−y^2)$. Calcolare il gradiente della funzione composta $f(g(x,y))$ nel punto (1,1) cioè $∇f(g(x,y))(1,1)$.
Pensavo si dovesse applicare la chain rule ma da quella strada non cavo nulla. Però non capisco che altra strada esplorare per risolvere il problema.
Qualcuno è in grado di aiutarmi? Grazie.
Ciao a tutti,
devo risolvere il seguente problema sul gradiente di una funzione composta:
Sia $f:RR^3 →RR$ di classe $C1$ tale che $∇f(2,0,0)=(1,1,2)$. Sia $g:RR^2→RR^3$ definita da $g(x,y)=(xy+y,x^2−x,x^3−y^2)$. Calcolare il gradiente della funzione composta $f(g(x,y))$ nel punto (1,1) cioè $∇f(g(x,y))(1,1)$.
Pensavo si dovesse applicare la chain rule ma da quella strada non cavo nulla. Però non capisco che altra strada esplorare per risolvere il problema.
Qualcuno è in grado di aiutarmi? Grazie.
Risposte
"ravanello":
Pensavo si dovesse applicare la chain rule ma da quella strada non cavo nulla.
Per "chain rule" cosa intendi di preciso?
In ogni caso è semplicissimo, prima di tutto noti che $g(1,1)=(2,0,0)$ e se non valesse questo non potresti risolvere l'esercizio, perché non varrebbe che $f(2,0,0)=f(g(1,1))$, che invece vale.
Quindi di calcoli lo Jacobiano di $g$ in $(1,1)$ e applichi il teorema dello jacobiano di una funzione composta, cioè che $J_h(1,1)=J_{f} (2,0,0) \cdot J_{g} (1,1)$ dove $J_{f} (2,0,0)$ non è altro che il gradiente di $f$ valutato in $(2,0,0)$, essendo una funzione a valori in $\mathbb{R}$, mentre $h$ è la funzione composta $h=f(g(x,y)) : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$
"Bossmer":
Per "chain rule" cosa intendi di preciso?
proprio questo
"Bossmer":
$J_h(1,1)=J_{f} (2,0,0) \cdot J_{g} (1,1)$
Grazie delle risposte.
Ma quindi devo calcolare il determinante della matrice Jacobiana di $g$ in $(1,1)$?
Cioè il determinante di una matrice rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne?!? E come si fa?
Ma quindi devo calcolare il determinante della matrice Jacobiana di $g$ in $(1,1)$?
Cioè il determinante di una matrice rettangolare di $m$ righe e $n$ colonne?!? E come si fa?
???
Vedo che c'è molta confusione sull'argomento, nessuno ti ha chiesto di calcolare nessun determinante.
devi solo fare il prodotto righe per colonne fra la matrice jacobiana di $f$ che è una matrice 1x3 e la jacobiana di $g$ che è una matrice 3x2 ottenendo così lo jacobiano della funzione composta che è una matrice 1x2 , e cioè un vettore riga ovvero il gradiente...
Vedo che c'è molta confusione sull'argomento, nessuno ti ha chiesto di calcolare nessun determinante.
devi solo fare il prodotto righe per colonne fra la matrice jacobiana di $f$ che è una matrice 1x3 e la jacobiana di $g$ che è una matrice 3x2 ottenendo così lo jacobiano della funzione composta che è una matrice 1x2 , e cioè un vettore riga ovvero il gradiente...
In effetti avevo frainteso...
Gli appunti di lezione sulla Jacobiana (io non seguo perchè lavoro) si limitano alla definizione, quindi l'argomento mi è abbastanza oscuro.
Ora è molto più chiaro
Grazie mille
Gli appunti di lezione sulla Jacobiana (io non seguo perchè lavoro) si limitano alla definizione, quindi l'argomento mi è abbastanza oscuro.
Ora è molto più chiaro
Grazie mille
figurati 
il consiglio, comunque, è "bruciare" gli appunti e comprare dei libri e studiare da quelli... indipendentemente dalla bravura dei tuoi docenti...
il consiglio, comunque, è "bruciare" gli appunti e comprare dei libri e studiare da quelli... indipendentemente dalla bravura dei tuoi docenti...
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